Из изучаемой налоговыми органами обширной группы населения было случайным образом

Опубликовано: 14.05.2024

50 60 70 80 90. 25 30 15 3 1. Из изучаемой налоговыми органами обширной группы населения было случайным образом отобрано 10 человек и собраны сведения об их доходах за истекший год в тыс. рублей: х1, х2,…, х10. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию. Считая распределение доходов в группе нормальным и используя в качестве его параметров выборочное среднее… Читать ещё >

Выдержка
Похожие работы
Помощь в написании

Контрольная работа по высшей математике ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Содержание

1. Из перетасованной колоды (36 карт) последовательно извлекаются 3 карты. Какова вероятность события, что эти 3 карты: Одного цвета (чёрные или красные)?
2. Стрелок поражает цель с вероятностью 0,9. Какое минимальное число патронов ему необходимо иметь, чтобы поразить цель с вероятностью не менее 0,99?

3) Из изучаемой налоговыми органами обширной группы населения было случайным образом отобрано 10 человек и собраны сведения об их доходах за истекший год в тыс. рублей: х1, х2,…, х10. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию. Считая распределение доходов в группе нормальным и используя в качестве его параметров выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию, определить, какой процент группы имеет годовой доход, превышающий, а тыс. рублей.

90 120 100 90 80 70 90 110 70 80 100

4) Для изучения влияния курения на продолжительность жизни отслеживалась продолжительность двух групп населения по 100 человек каждая- курящих и некурящих. Пользуясь таблицей при уровне значимости 0,05 ответить на вопрос, влияет ли курение на продолжительность жизни. (1-ая строка таблицы число лет, 2-ая и 3-я строки- число человек, проживших данное число лет соответственно в группах курящих и некурящих).

20 30 40 50 60 70 80 90

1 5 30 35 25 3 1 0

1 5 20 25 30 15 3 1

5) В таблице приведены средние мировые цены на сырую нефть Х (дол. за баррель) и бензин У (центов за галлон) с 1981 по 1985 год. На графике в координатах Х, У нанести 5 точек, относящихся к годам, указанным в варианте задачи. По пяти точкам получить методом наименьших квадратов уравнение линейной регрессии У=аХ+b и представить его на графике.

Год Бензин, У- центов за галлон Сырая нефть, Х-дол. за баррель

1) Из перетасованной колоды (36 карт) последовательно извлекаются 3 карты. Какова вероятность события, что эти 3 карты: Одного цвета (чёрные или красные)?

как черных так и красных карт в колоде одинаковое количество по 18 штук, тогда т.к. карты извлекаются без возврата, то искомая вероятность:

2) Стрелок поражает цель с вероятностью 0,9. Какое минимальное число атронов ему необходимо иметь, чтобы поразить цель с вероятностью не менее 0,99?

для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли:

если число патронов равно, то вероятность поражения цели равна ,

найдем вероятность поражения цели при :

следовательно, стрелку необходимо минимум 2 патрона для того чтобы поразить цель с вероятностью не менее 0,99.

Ответ: 2 [24, "https://referat.bookap.info"].

90 120 100 90 80 70 90 110 70 80 100

найдем выборочное среднее:

найдем теперь выборочную дисперсию:

находим исправленную выборочную дисперсию:

Считая распределение доходов в группе нормальным и используя в качестве его параметров выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию, определить, какой процент группы имеет годовой доход, превышающий 100 тыс. рублей по формуле:

Следовательно, 48,87% группы имеет годовой доход, превышающий 100 тыс. руб.

Задача 1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Найти общее решение.

Задача 2. Однородные дифференциальные уравнения. Найти общее решение.

Задача 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Задача 4. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Задача 5. Исследовать сходимость положительного ряда, применяя какой – либо из достаточных признаков сходимости (сравнения, Даламбера, радикальный или интегральный):

Задача 6. Найти интервал сходимости степенного ряда, исследовать его поведение на концах интервала сходимости и указать область сходимости:

Задача 7. (Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме).

В магазин поступило N телевизоров. Из них K Имеют скрытые дефекты. Покупателю для выбора наудачу предложено L телевизоров. Какова вероятность того, что все предложенные покупателю изделия не содержат дефектов?

1. N=30, K=3, L=2.

2. N=20, K=2, L=3.

Из партии, содержащей N изделий, среди которых K бракованных, наудачу извлекают M изделий для контроля. Найти вероятности следующих событий: А=<в полученной выборке ровно L бракованных изделий>, B=<в полученной выборке нет бракованных изделий>.

3. N=10, K=3, L=1, M=4.

4. N=12, K=3, L=2, M=5

Имеются два ящика с деталями. В первом N Деталей, из них M годных. Во втором ящике N Изделий, из них M годных. Сборщик наудачу выбрал по одной детали из каждого ящика. Найти вероятность того, что обе выбранные детали годные. Какова вероятность того, что обе выбранные детали бракованные?

5. N=12, M=8, N=8, M=7.

6. N=14, M=10, N=6, M=4.

Группа, состоящая из 8 человек, занимает места с одной стороны прямоугольного стола. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом, если:

7. число мест равно 8.

8. число мест равно 12.

Из урны, содержащей M+N шаров, из которых M белых и N черных, на удачу отбирают K Шаров и откладывают в сторону. Найти вероятности следующих событий: A=<все отложенные шары белые>, B=<среди отложенных шаров ровно L белых>.

9. M=10, N=6, K=5, L=3.

10. M=8, N=12, K=6, L=4.

Задача 8 (Формула полной вероятности и формула Байеса)

Варианты № 1, 2

В сборочный цех поступает некоторая деталь с трёх станков-автоматов. Среди изделий первой линии % Стандартных, у второй линии %, % - У третьей линии. Объём продукции первой линии %, второй линии %. Определить вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется бракованной. Определить вероятность того, что деталь изготовлена на третьей линии, если оказалось, что она бракованная.

1. =98% , =95% =92% , =40% , =30%.

2. =97%, =96%, =95% , =45% , =35%.

Варианты № 3, 4

В тире имеется три вида винтовок: - первого типа, - второго типа, - третьего типа. Вероятность попадания в цель из винтовок первого типа , второго типа , третьего типа . После выстрела из винтовки, выбранной наудачу, цель была поражена. Какова вероятность того, что выстрел был сделан из винтовки третьего типа?

3. =3, =4, =3, =0.9, =0.85, =0.65.

4. =1, =3, =5, =0.65, =0.7, =0.75.

Варианты № 5,6

В магазин поступают телевизоры с трёх заводов. С первого завода поступает % телевизоров со скрытыми дефектами, % со второго завода и % с третьего завода. Какова вероятность того, что в магазин привезут исправный телевизор, если известно, что с первого завода поступило телевизоров , со второго , с третьего ?

5. =10%, =5%, =6%, =3, =3, =4.

6. =15%, =10%, =15%, =5, =3, =2.

Варианты № 7,8

В ящике N теннисных мячей. Из них игранных M. Для первой игры наудачу взяли два мяча и после игры их положили обратно. Для второй игры также наудачу взяли два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

7. N=10, M=2.

8. N=12, M=4.

Варианты № 9,10

Три стрелка произвели по выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания у них соответственно Р1, р2, р3. В мишени оказались две пробоины. Определите вероятность промаха N-го стрелка.

9. р1 =0.5, р2=0.7, р3 =0.9, N=1.

10. р1 =0.6, р2=0.8, р3 =0.9, N=2.

Задача №6 Дискретные случайные величины.

Составить закон распределения дискретной случайной величины Х. Записать функцию распределения, построить её график. Вычислить числовые характеристики М(Х), D(Х), S(Х)).

Варианты №1,2,3,4

Х-число отказавших элементов в одном опыте с устройством, состоящим из N Независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента Р.

1. N=3, P=0.1.

2. N=4, P=0.15.

3. N=3, P=0.15.

4. N=4, P=0.2.

Варианты №5,6,7

В партии K% бракованных изделий. Наудачу отобрано N Изделий. Х- число бракованных изделий среди отобранных. Дискретная случайная величина Х распределена по биномиальному закону:

5. K=15%, N=4.

6. K=10%, N=5.

7. K=20%, N=3.

Варианты №8,9,10

В партии из N деталей имеется M стандартных. Наудачу отобрали K деталей. Х-число стандартных деталей среди отобранных.

8. N=10, M=8, K=3.

9. N=9, M=7, K=3.

10. N=12, M=10, K=3.

Задача № 7 (Выборка, выборочные характеристики)

Из изучаемой налоговыми органами обширной группы населения случайным образом отобраны 10 человек и собраны сведения об их доходах за истекший год в тысячах рублей: Х1, х2,…, х10. Найти выборочное среднее, исправленную выборочную дисперсию. Считая распределение доходов в группе нормальным и принимая в качестве его параметров выборочные характеристики, определить, какой процент населения имеет годовой доход, превышающий 70 тыс. рублей.

Определение вероятности того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида. Проведение расчета вероятного числа студентов, родившихся 1 мая. Особенности применения полиноминальной схемы. Анализ закона распределения числа.

Рубрика	Математика
Вид	задача
Язык	русский
Дата добавления	07.11.2013
Размер файла	787,2 K

посмотреть текст работы

скачать работу можно здесь

полная информация о работе

весь список подобных работ

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение некоторых задач из учебника Н.Ш. Крамера

«Теория вероятностей и математическая статистика»

У сборщика имеются 10 деталей, мало отличающихся друг от друга, из них четыре первого, по две второго, третьего и четвертого видов. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, два - второго и одна третьего?

А - событие при котором из 6-ти взятых одновременно деталей 3 первого вида, 2 второго и 1 третьего.

n - общее число способов достать 6 деталей. Так как в нашем случае будет меняться только состав деталей, то

m - число способов, благоприятствующих событию А.

Число способов достать 3 детали первого вида из четырех , 2 детали второго вида из двух и 1 деталь третьего вида из двух .Так как все эти события должны произойти одновременно, то по правилу произведения

Согласно определению вероятности

полиноминальный распределение число вероятность

Ответ: вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, два - второго и одна третьего .

Среди 20 поступающих в ремонт часов 8 нуждаются в общей чистке механизма. Какова вероятность того, что среди взятых одновременно наудачу 3 часов, по крайней мере, двое нуждаются в общей чистке механизма?

Общее число способов извлечь трое часов из 20-ти

Событие А - по крайней мере двое из трех часов нуждаются в общей чистке механизма произойдет, если 2-е из 3-х или 3-е из 3-х нуждаются в общей чистке.

Число случаев, благоприятствующих событию А

Вероятность искомого события

Ответ: вероятность того, что среди взятых одновременно наудачу 3 часов, по крайней мере, двое нуждаются в общей чистке механизма 34,4%.

В группе 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлено отлично, 4 - хорошо, 2 - посредственно и 1 - плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный - на 16, посредственно - на 10, плохо - на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

Событие А - студент ответил на 3 вопроса, В1 - вызванный на удачу студент подготовлен отлично, В2 - хорошо, В3 - посредственно и В4 - плохо.

Вероятности вызова студентов

Условная вероятность ответа студента на 3 вопроса в зависимости от степени подготовки

По формуле полной вероятности

Применим формулу Баеса

Ответ: вероятность того, что вызванный студент подготовлен отлично ; вероятность того, что вызванный студент подготовлен плохо .

В вузе обучаются 3 650 студентов. Вероятность того, что день рождения студента приходиться на определенный день года, равна 1/365. Найти: а) Наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 мая, и вероятность такого события; б) вероятность того, что, по крайней мере, 3 студента имеют один и тот же день рождения.

а) Наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 мая, найдем по формуле

n-общее число студентов, m0 - наивероятнейшее число, p=1/365, q=1-p

, в полученном отрезке только одно целое число - 10, это и будет наивероятнейшим числом студентов, рожденных 1 мая.

Так как p=1/365 мала, а n=3650 велико, то для нахождения вероятности указанного события применим формулу Пуассона

, данное значение вероятности мы найдем из таблицы значений функции Пуассона.

б) Нужно найти вероятность того, что 3 и более студентов имеют общий день рождения, то есть

Но проще найти вероятность противоположного события, то есть

Используя таблицу значений функции Пуассона, получим

Ответ: наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 мая - 10 человек, вероятность этого события - 0,1251; вероятность того, что по крайней мере 3 студента родились в один день, равна 0,9971.

Студент рассматриваемого вуза по уровню подготовленности с вероятностью 0,3 является «слабым», с вероятностью 0,5 - «средним», с вероятностью 0,2 - «сильным». Какова вероятность того, что из наудачу выбранных 6 студентов вуза: а) число «слабых», «средних» и «сильных» окажется одинаковым; б) число «слабых» и «сильных» окажется одинаковым?

В данном случае в результате испытаний мы имеем более двух исходов, то есть, мы имеем дело с полиноминальной схемой. Воспользуемся формулой

где n-число испытаний, mk-число наступлений события Ak, pk- вероятность наступления события Ak.

а) Число «слабых», «средних» и «сильных» окажется одинаковым, если каждых будет по 2 человека.

б) Число «слабых» и «сильных» студентов может оказаться одинаковым в 4 случаях: если их будет по одному, а «средних» - 4; если их будет по 3, а «средних» не будет; если всех будет по 2; если в группе окажутся только «средние». И общая вероятность будет складываться из вероятностей всех этих исходов.

Ответ: вероятность того, что число «слабых», «средних» и «сильных» студентов окажется одинаковым равна 0,081; число «слабых» и «сильных» может оказаться равным с вероятностью 0,213.

Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Составить закон распределения числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает. Найти математическое ожидание и функцию распределения этой случайной величины.

Возможно всего 5 наборов номера, так как последняя цифра может принять лишь одно из значений 1, 3, 5, 7 или 9. Так как каждое из чисел набирается только один раз и больше не повторяется, то вероятность выпадения каждого из них

Таким образом, мы имеем закон распределения числа X наборов номера в виде матрицы:

Математическое ожидание случайной величины найдем по формуле

Функцию распределения случайной величины X найдем, используя формулу

Будем задавать различные значения x и находить для них F(x).

Ответ: закон распределения числа сделанных наборов номера телефона имеет вид ; математическое ожидание случайной величины равна ; функция распределения случайной величины =<0 при ; 0,2 при ; 0,4 при ; 0,6 при ; 0,8 при ; 1 при >.

Распределение дискретной случайной величины X задано формулой

где k= 1, 2, 3, 4, 5. Найти: а) константу C; б) вероятность события .

а) Сумма вероятностей всех значений случайной величины равна единице

б) Представим модуль , в виде двойного неравенства ;

Теперь определим вероятность события

Ответ: константа в формуле распределения дискретной случайной величины ; вероятность события .

Случайная величина X, сосредоточенная на интервале [-1; 3], задана функцией распределения . Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал [0; 2]. Построить график функции F(x).

Согласно 4-му свойству функции распределения вероятность попадания случайной величины в определенный интервал, равна приращению её функции распределения на этом интервале, то есть в нашем случае

Теперь построим график функции на отрезка [-1; 3]

Ответ: вероятность попадания случайной величины X в интервал [0; 2] равна 50%.

Месячный доход семей можно рассматривать как случайную величину, распределенную по логнормальному закону.

Полагая, что математическое ожидание этой случайной величины равно 1000 ден. ед., а среднее квадратическое отклонение 800 ден. ед., найти долю семей, имеющих доход: а) не менее 1000 ден. ед.; б) менее 500 ден. ед.

а) Доля семей, имеющих доход не менее 1000 ден. ед., это

При определении F(1000) воспользуемся тем, что функция логнормального распределения случайной величины X совпадает с функцией нормального распределения случайной величины , то есть получаем

Для того чтобы найти параметры и , запишем формулы математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по логарифмически-нормальному закону

Учтем связь среднеквадратического распределения и дисперсии

прологарифмировав выражение по основанию e, получим

Теперь можем определить долю семей, имеющих доход не менее 1000 ден. ед.

, используя таблицу значений функции Лапласа, получим

б) Доля семей, имеющих доход менее 500 ден. ед.

, здесь учли, что функция Лапласа нечетная, то есть .

Ответ: доля семей, имеющих доход от 1000 ден. ед. 63,7%, доля семей с доходом менее 500 ден. ед. 26,4%.

Вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,08. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции.

По условию, вероятность того, что клиент востребует акции, равна p=0,08. Число клиентов X=m имеет биноминальный закон распределения, а его границы 70 и 90 симметричны относительно математического ожидания .

Следовательно, оценку вероятности искомого события

можно найти, используя неравенство Чебышева

Ответ: вероятность того, что от 70 до 90 клиентов банка из 1000 востребуют свои акции не менее 26,4%.

Дано распределение признака X, полученного по n наблюдениям. Необходимо: 1) построить полигон (гистограмму), кумуляту и эмпирическую функцию распределения X; 2) найти: а) среднюю арифметическую ; б) медиану и моду ; в) дисперсию , среднее квадратическое отклонение s и коэффициент вариации ; г) начальные и центральные моменты k-го порядка (k= 1, 2, 3, 4); д) коэффициент асимметрии и эксцесс .

X - месячный доход жителя региона (в руб.); n=1000 (жителей).

«Высшая математика (теория вероятности и мат.методы) Вариант1»

Отзывы

Из перетасованной колоды (36 карт) последовательно извлекаются 3 карты. Какова вероятность события, что эти 3 карты:

1. Все одной масти?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности:

Число всех возможных исходов испытания:

число всех исходов испытания благоприятствующих тому, что все три карты одной масти (т.к. мастей всего 4 и каждой масти по 9 карт):

Тогда искомая вероятность:

1. Партия товара с равной вероятностью может быть от одного из двух поставщиков. Первый поставщик поставляет на рынок только доброкачественный товар, а у второго- 10 % брака. Наугад было проверено 10 единиц товара, среди которых брака не было. Какова вероятность каждого из поставщиков?

Пусть и - гипотезы, состоящие в том, что товар от первого и второго поставщика соответственно, тогда по условию задачи . Далее, пусть А – событие при котором из 10 проверенных наугад товаров брака нет, тогда для первого поставщика , а для второго . Найдем вероятность того, что товар был первого поставщика найдем по формуле Бейеса:

аналогично, найдем вероятность, что это товар был второго поставщика:

Ответ: вероятность того, что это был товар первого поставщика равна 0,526, а вероятность того, что это был товар второго поставщика – 0,474.

Задача 1 Из перетасованной колоды (36 карт) последовательно извлекаются 3 карты. Какова вероятность события, что эти 3 карты:

1. Все одной масти?

Из изучаемой налоговыми органами обширной группы населения было случайным образом отобрано 10 человек и собраны сведения об их доходах за истекший год в тыс. рублей: х1, х2. х10. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию. Считая распределение доходов в группе нормальным и используя в качестве его параметров выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию, определить, какой процент группы имеет годовой доход, превышающий а тыс. рублей.

х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7 х8 х9 х10

1 50 4060 80 4050 60 90 70 60 70

1) На коробках с конфетами было подготовлено 2 варианта рисунка. В течение 30 дней ежедневно регистрировалось число проданных коробок каждого вида, которое колебалось от 0 до 8. По заданной таблице при уровне значимости 0,05 ответить на вопрос, повлиял ли рисунок на объём продаж. (1-ая строка таблицы – число проданных коробок, 2-ая и 3-я строки – количество дней с данным объёмом продаж соответственно коробок первого и второго типа).

0 1 2 3 4 5 6 7 8

2 3 6 5 5 4 2 2 1

1 3 3 4 5 6 4 2 2

1)–10) В таблице приведены средние мировые цены на сырую нефть Х (дол. за баррель) и бензин Y (центов за галлон) с 1975 по 1988 год. На графике в координатах Х, Y нанести 5 точек, относящихся к годам, указанным в варианте задачи. По пяти точкам получить методом наименьших квадратов уравнение линейной регрессии Y =аХ+b и представить его на графике.

Год Бензин, Y - центов за галлон Сырая нефть, Х-дол. за баррель

Экономика разделена на три отрасли: промышленность, сельское хозяйство, прочие отрасли. На плановый период заданы коэффициенты прямых затрат и конечная продукция отраслей

По этим данным рассчитать плановые объемы валовой продукции и межотраслевые поставки, определить матрицу полных затрат итерационным методом, ограничившись четырьмя членами разложения.

№ вар. а11 а12 а13 а21 а22 а23 а31 а32 а33 y1 y2 y3

1 0,3 0,1 0,3 0,1 0,1 0,1 0,0 0,1 0,1 150 200 110

Составить математические модели следующих задач:

1)–5). Кондитерский цех выпускает три вида конфет A,B,C, используя три вида сырья (какао, сахар, наполнитель). Нормы расхода сырья на производство 10 кг конфет а также прибыль от реализации 10 кг конфет каждого вида приведены в таблице:

Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли.

№ вар. а11 а12 а13 а21 а22 а23 а31 а32 а33 b1 b2 b3 c1 c2 с3

1 15 18 12 4 6 8 3 5 3 360 192 180 10 9 16

Решитьзадачу линейного программирования графическим методом

Исходные данные записаны в таблице.

№ вар. а11 а12 а21 а22 а31 а32 b1 b2 b3

1 4 -1 -1 1 2 -3 0 3 6

Найдите решения следующих матричных игр:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Математика»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4 ДЛЯ СТУДЕНТОВ

ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

Составители: Волокитин Г.И., Тукодова О.М., Глушкова В.Н.

Контрольная работа №4 для студентов заочной формы обучения технических специальностей – Ростов н/д: Издательский центр ДГТУ. 2013. – … с.

Для студентов заочной формы обучения технических специальностей

Печатается по решению методической комиссии факультета «Информатика и вычислительная техника»

ПРОГРАММА

по высшей математике для студентов первого курса заочной формы обучения (второй семестр)

Числовые ряды.

Определение суммы ряда и основные свойства. Примеры геометрического и гармонического рядов. Необходимый признак сходимости.

Положительные ряды.

Критерий сходимости положительных рядов. Достаточные признаки сходимости: первый и второй признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.

Знакочередующиеся ряды.

Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременных рядов. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов и следствие из этой теоремы об оценке остатка ряда.

Степенные ряды.

Теорема Абеля и следствие из этой теоремы о существовании для степенных рядов интервала сходимости. Радиус сходимости степенного ряда и его вычисление. Свойства степенных рядов: теоремы о непрерывности суммы степенного ряда, о почленном интегрировании и почленном дифференцировании. Логарифмический ряд. Ряды Тэйлора и Маклорена. Условия представимости функции ее рядом Тэйлора. Единственность представления заданной функции степенным рядом. Разложение элементарных функций e x , cos x, sin x, (1+x) m в степенные ряды. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

Ряды Фурье.

Понятие тригонометрического ряда. Определение ортогональных систем функций и тригонометрическая система функций. Формулы Эйлера-Фурье и определение ряда Фурье. Достаточные условия представимости функции с периодом T=2p ее рядом Фурье (теорема Дирихле). Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Периодическое продолжение функций. Ряд Фурье в случае произвольного периода T=2l и ряд Фурье для функции, заданной на несимметричном интервале.

Основные понятия.

Случайные события. Алгебраические операции над событиями. Множество элементарных событий.

Алгебра событий.

Аксиоматическое определение вероятности события. Вероятностное пространство.

Классическое определение вероятности события.

Статистическое определение вероятности события.

Геометрическое определение вероятности события.

Задачи классической вероятности.

Элементы комбинаторики. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме.

Теорема умножения.

Определение условной вероятности. Независимость событий.

Вероятности сложных событий.

Формулы умножения вероятностей. Теоремы сложения вероятностей.

Формула полной вероятности, формулы Байеса.

Схема независимых испытаний Бернулли.

Предельные теоремы в схеме Бернулли.

Формулы Муавра-Лапласа и Пуассона.

Случайные величины.

Определение случайной величины. Дискретные случайные величины (ДСВ) и случайные величины непрерывного типа (СВНТ).

Задание случайных величин.

Закон распределения ДСВ.

Числовые характеристики ДСВ.

Математическое ожидание, дисперсия и другие моменты. Свойства математического ожидания и дисперсии.

Примеры ДСВ.

Гипергеометрическое распределение, биномиальное распределение, закон Пуассона.

Задание СВНТ.

Функция распределения и функция плотности вероятностей. Свойства этих функций.

Примеры непрерывных распределений.

Равномерное, нормальное и показательное распределения.

Закон больших чисел.

Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.

Предельные теоремы.

Понятие о предельных теоремах. Центральная предельная теорема для суммы одинаково распределенных слагаемых. Теорема Ляпунова.

Математическая статистика.

Выборка и способы ее представления. Числовые характеристики выборочного распределения.

Интервальные оценки.

Доверительный интервал, надежность и точность оценки.

Линейная регрессия.

Элементы регрессионного анализа и метод наименьших квадратов. Характер связи и его оценивание по коэффициенту корреляции.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №4

Задача №1. Исследовать сходимость положительного ряда, применяя какой – либо из достаточных признаков сходимости (сравнения, Даламбера, радикальный или интегральный):

Задача №2. Найти интервал сходимости степенного ряда, исследовать его поведение на концах интервала сходимости и указать область сходимости:

Задача №3(Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме).

В магазин поступило n телевизоров. Из них k имеют скрытые дефекты. Покупателю для выбора наудачу предложено l телевизоров. Какова вероятность того, что все предложенные покупателю изделия не содержат дефектов?

1. n=30, k=3, l=2.

2. n=20, k=2, l=3.

Из партии, содержащей n изделий, среди которых k бракованных, наудачу извлекают m изделий для контроля. Найти вероятности следующих событий: А=<в полученной выборке ровно l бракованных изделий>, B=<в полученной выборке нет бракованных изделий>.

3. n=10, k=3, l=1, m=4.

4. n=12, k=3, l=2, m=5

Имеются два ящика с деталями. В первом n деталей, из них m годных. Во втором ящике N изделий, из них M годных. Сборщик наудачу выбрал по одной детали из каждого ящика. Найти вероятность того, что обе выбранные детали годные. Какова вероятность того, что обе выбранные детали бракованные?

5. n=12, m=8, N=8, M=7.

6. n=14, m=10, N=6, M=4.

7. число мест равно 8.

8. число мест равно 12.

Из урны, содержащей m+n шаров, из которых m белых и n черных, на удачу отбирают k шаров и откладывают в сторону. Найти вероятности следующих событий: A=<все отложенные шары белые>, B=<среди отложенных шаров ровно l белых>.

9. m=10, n=6, k=5, l=3.

10. m=8, n=12, k=6, l=4.

Задача № 4(Вероятности сложных событий и применение теорем сложения и умножения)

Электрическая цепь прибора составлена по схеме, приведенной на рисунке Вашего варианта. Событие A_k=. k=1,2,…,6. Отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Известна надежность k-го элемента (соответственно - вероятность отказа). Событие B=<разрыв цепи>. Выразить событие B в алгебре событий A_k. Найти вероятность отказа прибора и вероятность надежности схемы. p₁=p₂=0.9, p₃=p₄=0.8, p₅=p₆=0.85.

Вариант 10

Задача № 5 (Формула полной вероятности и формула Байеса)

Варианты № 1, 2

В сборочный цех поступает некоторая деталь с трёх станков-автоматов. Среди изделий первой линии % стандартных, у второй линии %, % - у третьей линии. Объём продукции первой линии %, второй линии %. Определить вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется бракованной. Определить вероятность того, что деталь изготовлена на третьей линии, если оказалось, что она бракованная.

1. =98% , =95% , =92% , =40% , =30%.

2. =97%, =96%, =95% , =45% , =35%.

Варианты № 3, 4

В тире имеется три вида винтовок: - первого типа, - второго типа, -третьего типа. Вероятность попадания в цель из винтовок первого типа , второго типа , третьего типа . После выстрела из винтовки, выбранной наудачу, цель была поражена. Какова вероятность того, что выстрел был сделан из винтовки третьего типа?

3. =3, =4, =3, =0.9, =0.85, =0.65.

4. =1, =3, =5, =0.65, =0.7, =0.75.

Варианты № 5,6

5. =10%, =5%, =6%, =3, =3, =4.

6. =15%, =10%, =15%, =5, =3, =2.

Варианты № 7,8

В ящике n теннисных мячей. Из них игранных m. Для первой игры наудачу взяли два мяча и после игры их положили обратно. Для второй игры также наудачу взяли два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

7. n=10, m=2.

8. n=12, m=4.

Варианты № 9,10

Три стрелка произвели по выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания у них соответственно р1, р2, р3. В мишени оказались две пробоины. Определите вероятность промаха n-го стрелка.

9. р1 =0.5, р2=0.7, р3 =0.9, n=1.

10. р1 =0.6, р2=0.8, р3 =0.9, n=2.

Задача №6 Дискретные случайные величины.

Составить закон распределения дискретной случайной величины Х. Записать функцию распределения, построить её график. Вычислить числовые характеристики М(Х), D(Х), s(Х)).

Варианты №1,2,3,4

Х-число отказавших элементов в одном опыте с устройством, состоящим из n независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента р.

1. n=3, p=0.1.

Варианты №5,6,7

В партии k% бракованных изделий. Наудачу отобрано n изделий. Х- число бракованных изделий среди отобранных. Дискретная случайная величина Х распределена по биномиальному закону:

Варианты №8,9,10

В партии из n деталей имеется m стандартных. Наудачу отобрали k деталей. Х-число стандартных деталей среди отобранных.

8. n=10, m=8, k=3.

9. n=9, m=7, k=3.

10. n=12, m=10, k=3.

Задача № 7 (Выборка, выборочные характеристики)

Из изучаемой налоговыми органами обширной группы населения случайным образом отобраны 10 человек и собраны сведения об их доходах за истекший год в тысячах рублей: х1, х2,…, х10. Найти выборочное среднее, исправленную выборочную дисперсию. Считая распределение доходов в группе нормальным и принимая в качестве его параметров выборочные характеристики, определить, какой процент населения имеет годовой доход, превышающий 70 тыс. рублей.

№ вар

x10

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЯДОВ

Положительные ряды.

Для исследования сходимости положительных рядов (т.е. рядов с неотрицательными членами: un³0) применяют достаточные признаки сходимости рядов. Среди них наиболее часто используют признаки сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши

(Табл. 1).

Пример 2.Исследовать сходимость ряда

Решение.Применим первый признак сравнения. В качестве «эталонного» ряда возьмем обобщенный гармонический ряд

Показатель степени гармонического ряда p=4/5 0, an, bn – постоянные, называется тригонометрическим рядом. Все члены тригонометрического ряда и его сумма, если она существует, являются периодическими функциями от x с периодом T=2l.

Рядом Фурьедля функции f(x) в интервале (-l, l) называется тригонометрический ряд, у которого коэффициенты an, bn вычисляются по формулам Эйлера-Фурье:

Обозначают

Достаточные условия, при выполнении которых данную функцию f(x) можно разложить в ряд Фурье, сформулированы в следующей теореме. Теорема Дирихле:если в интервале (-l, l) функция f(x), для которой существуют предельные значения f(-l+0) и f(l-0) , непрерывна всюду, кроме, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, и имеет конечное число точек экстремума (либо не имеет их совсем), то соответствующий ей ряд Фурье сходится. Сумма этого ряда равна 1) f(x) в тех точках х интервала, в которых функция непрерывна; 2) полусумме односторонних пределов функции слева и справа ½[f(xk-0)+f(xk+0)] во всех точках разрыва xk; 3) ½[f(-l+0)+f(l-0)] на концах интервала.

Для четной функции все коэффициенты bn = 0 и соответствующий ряд Фурье не содержит синусов:

Для нечетной функции f(x) все коэффициенты an = 0 и соответствующий ряд Фурье содержит только синусы:

Функцию f(x), заданную в промежутке (0, l) можно произвольно продолжить в интервал (-l, 0) и поэтому она представима различными рядами Фурье. Так, при четном доопределении f(x) в интервале (-l, 0), получаем ряд по косинусам, при нечетном – ряд по синусам. Однако, все эти ряды на основном интервале (0, l) сходятся именно к f(x) (разумеется, при выполнении условий представления функции ее рядом Фурье). Если в интервале задания (0, l) функция f(x) непрерывна, то при четном ее продолжении кривая, представляющая 2l – периодическую функцию, не имеет разрывов.

При разложении в ряд Фурье функция f(x) может быть задана на произвольном (не обязательно симметричном) интервале (a, a+2l). В этом случае коэффициенты an, bn вычисляются по формулам с другими пределами интегрирования:

Если функция f(x) определена несколькими различными формулами на разных участках интервала, то при вычислении коэффициентов ряда Фурье учитывается свойство аддитивности определенного интеграла.

Пример 11. Функция f(x) определена в интервале (0,π) графиком

Найти выражение заданной функции в виде ряда Фурье по косинусам.

Решение. 1) Составим аналитическое выражение функции f(x) на отрезке (0, π):

Так как требуется разложить f(x) в ряд по косинусам, то в соседний интервал (-π, 0) ее продолжим четнымобразом. Полупериод в данном случае определяется величиной l = π. Ряд Фурье приобретает вид:

График функции f(x) c ее четным продолжением в интервал (-π, 0) последующим 2π – периодическим продолжением выглядит следующим образом:

-2π -3/2π -π -π/2 0 π/2 π 3/2π 2π

2) Вычислим коэффициенты ряда Фурье:

Остальные коэффициенты найдем, интегрируя по частям первый из интегралов:

4) Поскольку функция f(x) удовлетворяет всем трем условиям теоремы Дирихле, то она представима рядом Фурье. В силу непрерывности периодического продолжения f(x) ряд Фурье сходится к самой функции f(x) в каждой точке x. Используя найденные значения коэффициентов ряда, получим искомое разложение:

5) Поскольку функция, получившаяся при четном продолжении f(x) в точке х = 0 непрерывна, то сумма ряда Фурье принимает значение 0.

Читайте также: