Какие параметры ндс являются окончательным решение задачи мкэ для плоской рамы

Опубликовано: 15.05.2024

Решения задач

Методы

4.1. Содержание метода.

Метод конечных элементов (MKЭ) представляет собой эффективный численный метод решения инженерных и физических задач. Он широко применяется при проектировании судов, летательных аппаратов, несущих систем многоэтажных зданий и т. п. Для МКЭ характерна ясная физическая трактовка. Его можно рассматривать, в частности, как обобщение классического метода строительной механики - метода перемещений. С другой стороны МКЭ является своеобразной формой часто применяемого вариационного метода Ритца. Различие между традиционной формой метода Ритца и МКЭ состоит в выборе системы координатных функций. Если в методе Ритца функции (обычно ряды) задаются для всей области, то в МКЭ они задаются для ее частей и через множество этих функций определяется состояние системы.

Классический подход к задаче об изучении напряженно-деформированного состояния диска (рис. 4.1) предполагает изучение бесконечно малого его элемента. Получающиеся при этом дифференциальные уравнения в частных производных (равновесия и геометрические) совместно с физическими уравнениями и контурными условиями позволяют определить напряжения, деформации и перемещения в каждой точке диска.

Метод конечных элементов предполагает иной подход. Рассматривается элемент конечных размеров, за счет чего осуществляется переход от сплошной системы с бесконечным числом степеней свободы, к системе с конечным числом степеней свободы.

Разделим воображаемыми линиями диск, изображенный на рис. 4.1, на некоторое количество элементов конечных размеров, например, треугольной формы и примем за узловые точки их вершины. Очевидно, что если диск находится в равновесии то и его элемент, определенный узлами i, j, k, под воздействием напряжений (усилий) от смежных элементов, также уравновешен. Приложим затем к е-му элементу вместо фактических усилий, действующих вдоль его граней статически эквивалентные узловые силы, т. е. силы, вызывающие внутри элемента действительное напряженно-деформированное состояние (рис. 4.2.).

Поставив в соответствие каждому узловому усилию узловое перемещение (рис. 4.2, (б)) представим сплошной диск набором конечных элементов, взаимодействующих между собой в конечном числе узловых точек.

Такой подход позволяет в дальнейшем использовать один из известных классических методов строительной механики, например метод перемещений (возможно также применение метода сил, либо смешанного). Для этого необходимо установить матрицы жесткости всех конечных элементов и, из условия равновесия узлов, получить разрешающие уравнения задачи. Найденные узловые перемещения не дают, однако, полной характеристики напряженно-деформированного состояния диска. Необходим переход от этих величин к перемещениям, напряжениям и деформациям внутри конечных элементов, т. е. речь идет о решении плоской задачи для каждого конечного элемента, находящегося под воздействием узловых перемещений. Такой переход в МКЭ осуществляется приближенно, путем задания интерполяционных (координатных) функций (функций формы), что и делает метод приближенным. Функции эти (обычно полиномы) такие, что обеспечивают неразрывность перемещений при переходе от одного элемента к другому.

Естественно, что при реализации МКЭ возникает необходимость приведения действующих на конструкцию нагрузок к сосредоточенным узловым силам.

Обычно все зависимости, связанные с конечным элементом, строятся в местной системе координат, с последующим переходом в общую систему для всей области. Это позволяет заранее получить необходимые соотношения для часто применяемых типов конечных элементов.

Решение задач по методу конечного элемента содержит следующие этапы:

1. Разбиение заданной области на конечные элементы. Нумерация узлов и элементов.

2. Построение матриц жесткости конечных элементов.

3. Сведение нагрузок и воздействий, приложенных к конечным элементам, к узловым силам.

4. Формирование общей системы уравнений; учет условий закрепления. Решение системы уравнений.

5. Определение напряжений и (при необходимости) деформаций в. конечных элементах.

4.2. Дискретизация области.

Разбиение области на подобласти представляет собой первый шаг на пути к решению задачи, и именно этот шаг не имеет теоретического обоснования. Искусство разбиения области зависит от имеющихся инженерных навыков. Плохое или несовершенное разбиение будет приводить к ошибочным результатам, если даже остальные этапы метода осуществляются с достаточной точностью.

Дискретизация области (тела) включает задание числа, размеров и формы подобластей, которые используются для построения дискретной модели реального тела. При этом, с одной стороны, элементы должны быть выбраны достаточно малыми, чтобы получить приемлемые результаты, а с другой стороны, применение достаточно крупных элементов сокращает вычислительную работу. Нужно иметь некоторые общие соображения об окончательных результатах, с тем, чтобы можно было уменьшить размеры элементов в тех областях, где ожидаемый результат может сильно меняться.

При решении задач методом конечных элементов используются элементы различных типов. Наиболее распространенные типы элементов приведены в табл. 4.1. Ниже будут рассматриваться в основном трехузловые треугольные КЭ, как наиболее простые и чаще других применяемые для решения плоской задачи.

CC BY

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — А. Л. Михайлов, А. А. Лысенко

Метод конечных элементов является численным методом, поэтому точность получаемых результатов зависит от типа, размеров и размещения в математической модели конечных элементов. В данной работе представлено соотношение для вычисления статической податливости конструкции, на основе которого создана компьютерная технология оценки точности расчетов, которую позволяет достичь построенная конечно-элементная модель конструкции. Компьютерная технология позволяет определить области конечноэлементной модели (КЭМ), вносящие погрешность в расчет. Описан способ оптимизации конечно-элементной модели механической конструкции при расчете НДС.

Optimization of final element model of the mechanical design at strain deformed condition calculation

The method of final elements is a numerical method therefore accuracy of received results depends on type, the sizes and placement in mathematical model of final elements. In this work the ratio for calculation of a static pliability of a design on the basis of which the computer technology of an assessment of accuracy of calculations which the constructed final and element model of a design allows to reach is created is presented. The computer technology allows to define the areas of final and element model bringing an error in calculation. The way of optimization of final and element model of a mechanical design is described at strain-deformed condition calculation.

Текст научной работы на тему «Оптимизация конечно-элементной модели механической конструкции при расчете НДС»

А.Л. Михайлов, А.А. Лысенко

ОАО «НПО «Сатурн», Россия, Рыбинск

ОПТИМИЗАЦИЯ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКОЙ КОНСТРУКЦИИ ПРИ РАСЧЕТЕ НДС

Метод конечных элементов является численным методом, поэтому точность получаемых результатов зависит от типа, размеров и размещения в математической модели конечных элементов. В данной работе представлено соотношение для вычисления статической податливости конструкции, на основе которого создана компьютерная технология оценки точности расчетов, которую позволяет достичь построенная конечно-элементная модель конструкции. Компьютерная технология позволяет определить области конечно-элементной модели (КЭМ), вносящие погрешность в расчет. Описан способ оптимизации конечно-элементной модели механической конструкции при расчете НДС.

Ключевые слова: компьютерная технология оценки качества КЭМ, статическая податливость, конечно-элементная модель, эквивалентные массы, три взаимно-перпендикулярные силы.

Повышение надежности и сокращение сроков создания ГТД требуют решения ряда сложных научно-технических задач, в том числе, развития численных методов расчетной оценки прочности и долговечности основных деталей, основанных на математическом моделировании их объемного напряженно-деформированного состояния (НДС) методом конечных элементов.

А№УЗ является одним из наиболее мощных признанных в мире конечно-элементных вычислительных комплексов, позволяющих на стадии проектирования с достаточной точностью моделировать напряженно-деформированное состояние деталей ГТД. Поскольку метод конечных элементов является численным методом, то точность получаемых результатов зависит от типа, размеров и размещения конечных элементов в математической модели. Поэтому актуальной является задача оценки качества построенной математической модели и оптимизации ее по количеству (2) конечных элементов.

1 Технология оценки качества КЭМ

В данной работе предлагается компьютерная технология оценки точности расчетов [2], которую позволяет достичь построенная конечно-элементная модель конструкции без дополнительного перестроения конечно-элементной сетки и повторных расчетов конструкции.

Технологию оценки осуществляют следующим образом. В системе геометрического объемного моделирования ЦКЮКАРНГСЗ создается трехмерная твердотельная виртуальная модель исследуемой конструкции. Данная модель экспортируется в А№УЗ, где разбивается на твердотель-

ные конечные элементы ЗОЬГО45, после чего накладывают граничные условия, выполняют модальный анализ. Определяют эквивалентные массы конструкции, принимая в качестве узлов возбуждения и узлов наблюдения различные узлы выбранных конечных элементов [1]:

a>Ya,Za) • ¿a >• Iх v (Xb,Yb,Zb )• iB>

где р - плотность материала. Далее определяют статическую податливость конструкции по формуле

где — собственные частоты колебаний конструкции,

к — номер формы колебаний;

Му — эквивалентная масса конструкции;

i — номер узла возбуждения (узла приложения сосредоточенной силы);

] — номер узла наблюдения (узла, в котором определяется перемещение конструкции под действием сосредоточенной силы).

Затем средствами А№УЗ в рассматриваемых узлах модели прикладывают сосредоточенные силы, выполняют статический анализ конструкции, определяют перемещения всех рассматриваемых узлов под действием приложенных сил и определяют статическую податливость конструкции по формуле

где Yj - перемещение J -го узла модели под действием сосредоточенной силы Pi, приложенной к i -му узлу.

Сравнением величин R0iJ, полученных по

формулам (1) и (2), определяют узлы исследуемой конечно-элементной модели, в которых эти величины отличаются значительно. Элементы, содержащие найденные узлы, относят к элементам низкой точности.

При определении элементов низкой точности вычисления НДС предлагаемым методом существенное значение имеет характер нагрузки, при которой определяется статическая податливость конструкции. Например, если в качестве нагрузки рассматривать сосредоточенную силу, приложенную в некотором узле модели, то области элементов низкой точности, определяемые на основе предлагаемого метода, могут существенно зависеть не только от положения узла, в котором приложена сила, но и от направления этой силы. Для получения наиболее точных результатов при использовании данного метода указанную статическую нагрузку следует задавать равномерно распределенной по всей конечно-элементной модели конструкции тела. При такой нагрузке формулы (1) и (2) нельзя использовать для определения статической податливости, поскольку они получены для случая приложения одной сосредоточенной силы.

Рассмотрим случай, когда в каждом узле конечно-элементной модели тела прикладываются три взаимно-перпендикулярные силы, направленные вдоль осей координат ОХ, ОУ, и равные по модулю.

Статические податливости тела в точке А в направлениях осей ОХ, ОУ, 02, при статическом анализе, определяются выражениями:

Библиотека конечных элементов, препроцессор, решатель, постпроцессор.

Библиотеки конечных элементов содержат их модели - матрицы жесткости. Модели конечных элементов различны для разных задач, разных форм конечных элементов, разных наборов координатных функций.

Исходными данными для препроцессора являются геометрическая модель объекта, чаще всего получаемая из подсистемы конструирования. Основная функция препроцессора - представление исследуемого объекта (детали) в сеточном виде, т.е. в виде множества конечных элементов.

Решатель - это программа, которая собирает модели отдельных конечных элементов в общую систему алгебраических уравнений и решает эту систему одним из методов разреженных матриц.

Постпроцессор служит для визуализации результатов решения в удобной для пользователя форме.

Основным методом для проведения различных видов анализа является метод конечных элементов. Первое применение этого метода относится к интервалу 1950-1960 года; в этот период он был использован для проведения анализа в строительной механике и самолетостроении, в настоящее время он получил особую популярность в автомобильной промышленности. Этот метод получил популярность и в таких сферах, как решение инженерных задач из области статики, динамики, электроники, радиационного анализа.

С его помощью можно решать задачи следующего характера:

" Анализ устойчивости навигационной системы к вибрациям;

" Способность монтажной платы выдерживать высокие температуры;

Метод конечных элементов позволяет конструктору успешно решать задачи расчета сложных конструкций или деталей, путем разбиения их на более мелкие части - конечные элементы. Эти элементы часто называют дискретными, а процесс их выделения - дискретизацией формы.

После разбивки дальнейшее расчет на нагрузку проводятся уже для отдельных конечных элементов, каждый из которых вносит свой вклад в характеристику прочности детали. Точки, ограничивающие элемент называются узлами и вместе с проходящими через них линиями образуют конечно-элементную сетку.

Для двумерных областей наиболее часто используются элементы в форме треугольников или четырехугольников; как с прямо-, так и с криволинейными границами, чтобы в дальнейшем с достаточной степенью точности аппроксимировать границу любой формы. Для трехмерных областей наиболее употребимы элементы в форме тетраэдра и параллелипипеда, которые также могут иметь прямо- или криволинейные границы.

В общем случае метод конечных элементов состоит из 4 этапов:

1. Выделение конечных элементов (разбиение области на конечные элементы);

Разбиение области на элементы обычно начинают от её границы, с целью наиболее точной аппроксимации формы границы. Затем производится разбиение внутренних областей. Часто разбиение области на элементы производят в несколько этапов. Сначала разбивают на крупные части, границы между которыми проходят там, где изменяются свойства материалов, геометрия, приложенная нагрузка (другие физические величины). Затем каждая подобласть разбивается на элементы. Стараются избегать резкого изменения размеров конечных элементов на границах подобластей. После разбиения области на конечные элементы осуществляют нумерацию узлов, причем порядок нумерации имеет существенное значение, так как влияет на эффективность последующих вычислений. Это связано со следующим: матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений, к которым приводит метод конечных элементов, является сильно разреженной матрицей ленточной структуры. Ненулевые элементы такой матрицы располагаются параллельно главной диагонали. Обозначим через число, представляющее наибольшую разность между номерами ненулевых элементов в строке. Число называется шириной полосы. Чем меньше ширина полосы, тем меньший объем памяти требуется для хранения матрицы при реализации метода конечных элементов в САПР, и тем меньше затраты машинного времени на решение результирующей системы уравнений. Ширина полосы зависит от числа степеней свободы узлов и способа нумерации последних. Если максимальную разность между номерами узлов для конечных узлов обозначить через , а число степеней свободы - , то .

Информация о способе разбиения на конечные элементы и нумерация узлов является исходной для всех последующих этапов алгоритма метода конечных элементов. При этом требуется указывать не только номер, но и координаты каждого узла, его принадлежность к определенным конечным элементам, информацию о соединении элементов между собой, значения физических параметров объекта в пределах каждого элемента.

2. Определение аппроксимирующей функции для каждого элемента.

На этом этапе искомая непрерывная функция аппроксимируется кусочно-непрерывной, определенной на множестве конечных элементов. Эту процедуру можно выполнить один раз для типичного элемента области и затем полученную функцию использовать для остальных элементов области того же вида. В качестве аппроксимирующей функции элементов чаще всего используют полиномы, которые подбираются так, чтобы обеспечить непрерывность искомой функции в узлах и на границах элементов.

3. Объединение конечных элементов в ансамбль.

На этом этапе уравнения, относящиеся к отдельным элементам, объединяются в ансамбль, то есть в систему алгебраических уравнений. Полученная система является моделью искомой непрерывной функции. Мы получаем матрицу жесткости.

4. Решение полученной системы алгебраических уравнений.

Реальная конструкция аппроксимируется многими сотнями конечных элементов, возникают системы уравнений со многими сотнями и тысячами неизвестных. Решение таких систем уравнений - основная проблема реализации метода конечных элементов. Методы решения зависят от размера разрешающей системы уравнений. В связи с большой размерностью и сильной разреженностью матрицы коэффициентов системы для реализации метода конечных элементов в САПР разработаны специальные способы хранения матрицы жесткости, позволяющее уменьшить необходимый для этого объем оперативной памяти.

Матрицы жесткости используются в каждом методе прочностного расчета, используя конечную элементную сетку. Название матрицы жесткости пришло из строительной механики, где МКЭ начал использоваться раньше, чем в других областях техники.

Для решения систем уравнений применяются методы двух групп: прямые методы (метод Гаусса), косвенные методы, когда решение определяется на основе последовательной аппроксимации (метод Гаусса-Зейделя).

ПРИМЕРЫ ПАКЕТОВ ИНЖЕНЕРНОГО АНАЛИЗА (CAE СИСТЕМЫ).

Главный ПП - MSC - MSE/Nastran. Эта система обеспечивает полный набор расчетов, включая расчет напряженно деформирующего состояния, собственных частот и форм колебаний, анализ устойчивости, решение задач теплопередачи, спектральный анализ. Тесная связь этого ПП с MSC/AKIES и MSE/PATRAN позволяет формировать полностью интегрированную среду для моделирования и анализа результатов. Все ведущие производители пре - и постпроцессоров, а также САПР, предусматривают прямые интерфейсы с этой средой.

Компания MDI известна как разработчик программного комплекса имитационного моделирования механических систем ADAMS. Сегодня продукция ADAMS составляет около 65% мирового рынка программных средств кинематического и динамического анализа механических систем.

Система ADAMS нашла широкое применение в таких приложениях как исследование динамики полета летательных аппаратов, анализ функционирования лентопротяжного механизма видеомагнитофона, оптимизация техники наведения понтонных мостов, функционирования роботов и манипуляторов, расследование ДТП.

Еще один интегрированный комплекс: I-DEAS MASTER SERIAS (SDRC - Structural Dynamics Research Corporation ). Он позволяет создавать конечно-элементные модели как отдельных деталей, так и сборок. Нагрузки и граничные условия связываются с геометрической моделью и сеткой, что позволяет обновлять их автоматически с изменением модели или сетки.

43. Моделирование технологических процессов обработки с использованием расширения Simulik+ системы MatLAB.

Simulink - это платформа для эмуляции и модельного проектирования динамических систем. Она обеспечивает интерактивную графическую среду и настраиваемый набор библиотек блоков, которые позволяют с высокой точностью проектировать, моделировать, реализовывать и тестировать системы управления, обработки сигналов, связи и т. п. Версия Simulink 6 улучшает производительность, скорость реакции, точность моделирования и эффективность протекания процессов при моделировании больших систем. Новые возможности:

1. Компонентное моделирование больших систем

2. Возможность сегментирования модели на несколько файлов, каждый из которых представляет собой отдельную модель

3. Возможность моделировать, тестировать и реализовывать каждый компонент отдельно, еще до его вставки в общую модель системы

4. Улучшенная интеграция моделей с существующими системами управления файлами и контроля версий

5. Инкрементальная загрузка моделей и генерация кода

6. Увеличена скорость обновления диаграмм и моделирования для больших моделей

7. Созданы рабочие пространства моделей (Model Workspaces), обеспечивающие отдельные области памяти для хранения параметров и переменных каждой модели

8. Улучшена поддержка шин для задания интерфейсов, поддержки операций над сигналами шины и описания шин как структур при генерации кода

9. Реализована интеграция Simulink и Stateflow

10. Унифицированный браузер моделей (Model Explorer) позволяет просматривать, создавать, конфигурировать все сигналы, параметры и свойства моделей

11. Объединены и унифицированы настройки параметров моделирования и генерации кода

12. Введена поддержка создания и сохранения конфигураций параметров моделирования и генерации кода

13. Введена возможность управления данными и их визуализацией

14. Добавлены новые объекты данных для задания структур, шин и типов данных

15. Введены возможности протоколирования данных и добавления контрольных точек без добавления блоков к модели

16. Средство Signal & Scope Manager позволяет подключать к модели источники и приемники сигналов без добавления блоков

17. Поддержка языка MATLAB

18. Генерация C-кода и реализация приложений на основе внедряемых MATLAB-алгоритмов

19. Улучшена функциональность для создания S-функций в виде M-файлов.

Библиотека конечных элементов, препроцессор, решатель, постпроцессор.

Постпроцессор служит для визуализации результатов решения в удобной для пользователя форме.

С его помощью можно решать задачи следующего характера:

" Анализ устойчивости навигационной системы к вибрациям;

" Способность монтажной платы выдерживать высокие температуры;

В общем случае метод конечных элементов состоит из 4 этапов:

1. Выделение конечных элементов (разбиение области на конечные элементы);

2. Определение аппроксимирующей функции для каждого элемента.

3. Объединение конечных элементов в ансамбль.

4. Решение полученной системы алгебраических уравнений.

ПРИМЕРЫ ПАКЕТОВ ИНЖЕНЕРНОГО АНАЛИЗА (CAE СИСТЕМЫ).

43. Моделирование технологических процессов обработки с использованием расширения Simulik+ системы MatLAB.

1. Компонентное моделирование больших систем

4. Улучшенная интеграция моделей с существующими системами управления файлами и контроля версий

5. Инкрементальная загрузка моделей и генерация кода

6. Увеличена скорость обновления диаграмм и моделирования для больших моделей

9. Реализована интеграция Simulink и Stateflow

11. Объединены и унифицированы настройки параметров моделирования и генерации кода

12. Введена поддержка создания и сохранения конфигураций параметров моделирования и генерации кода

13. Введена возможность управления данными и их визуализацией

14. Добавлены новые объекты данных для задания структур, шин и типов данных

16. Средство Signal & Scope Manager позволяет подключать к модели источники и приемники сигналов без добавления блоков

17. Поддержка языка MATLAB

18. Генерация C-кода и реализация приложений на основе внедряемых MATLAB-алгоритмов

19. Улучшена функциональность для создания S-функций в виде M-файлов.

В общем случае МКЭ включает четыре этапа.

1. Выделение конечных элементов. Это один из наиболее важных этапов МКЭ, так как от качества разбиения во многом зависит точность полученных результатов. Например, разбиение на двумерные элементы, близкие по форме к равносторонним треугольникам, обеспечивает лучшие результаты по сравнению с разбиением на вытянутые треугольники.

Возможность легко изменять размеры элементов позволяет без труда учитывать концентрацию напряжения, температурные градиенты, свойства материалов и т. д. Разбиение области на элементы обычно начинают от ее границы с целью наиболее точной аппроксимации формы границы, затем выполняют разбиение внутренних областей. Часто разбиение области на элементы выполняют в несколько этапов. Сначала область делится на достаточно большие подобласти, границы между которыми проходят там, где изменяются свойства материалов, геометрия, приложенная нагрузка и др. Затем каждая подобласть делится на элементы, причем резкого изменения размеров конечных элементов на границах подобластей стараются избегать.

2. Нумерация узлов элементов. Порядок нумерации имеет в данном случае существенное значение, так как влияет на эффективность последовательных вычислений. Дело в том, что матрица коэффициентов системы множества алгебраических уравнений, к которым приводит МКЭ, — сильно разряженная матрица ленточной структуры. Ненулевые элементы матрицы располагаются параллельно главной диагонали. Целое число, являющееся максимальной разностью между номерами ненулевых элементов в строке, называется шириной полосы.

Чем меньше ширина полосы, тем меньший объем памяти требуется для хранения матрицы при реализации МКЭ и тем меньше затраты машинного времени на решение результирующей системы уравнений. Ширина полосы зависит от количества степеней свободы узлов и способа нумерации последних. При нумерации узлов предпочтителен способ, обеспечивающий минимальную разницу между номерами узлов в каждом отдельном элементе.

Если максимальная разность между номерами узлов для отдельного элемента обозначить через Н, а количество степеней свободы через М, то L - (Н + 1) • М. В некоторых случаях уменьшение числа Н может быть достигнуто последовательной нумерацией узлов при движении в направлении минимального размера рассматриваемой области. Рациональная нумерация уменьшает объем необходимой памяти почти в три раза.

Информация о способе разбиения области на конечные элементы и нумерации узлов является исходной для всех следующих этапов алгоритмов МКЭ при реализации методов САПР. При этом требуется указывать не только номер, но и координаты каждого узла и принадлежность его к определенным конечным элементам. Такого рода информация называется топологической и содержит примерно в шесть раз больше цифр, чем количество узлов системы. При описании области, разбитой на конечные элементы, необходимо задавать тип конечного элемента, его порядковый номер, номера узлов элемента, координаты узлов, информацию о соединении элементов, значении физических параметров объекта в пределах конечного элемента.

3. Определение аппроксимирующей функции для каждого элемента (определение функции элемента). Эту процедуру нужно выполнить один раз для типичного элемента области безотносительно к его топологическому положению в ней. Полученная функция используется для всех остальных элементов области того же вида. Эта особенность является важным аспектом МКЭ. Благодаря ей элементы с однажды определенными функциями легко включаются в библиотеку элементов соответствующего программного комплекса и далее используются для решения разнообразных краевых задач. В качестве аппроксимирующей функции элементов чаще всего используются полиномы, которые разбираются так, чтобы обеспечить непрерывность искомой функции в узлах и на границах элементов.
4. Объединение конечных элементов в ансамбль. Решение полученной системы алгебраических уравнений. На этом этапе уравнения, относящиеся к отдельным элементам, объединяются в ансамбль, т. е. в систему алгебраических уравнений. При этом выполняется перенумерация узлов.

Основными частями программ анализа с помощью МКЭ являются библиотеки конечных элементов, препроцессор, решатель и постпроцессор. Библиотеки конечных элементов содержат их модели — матрицы жесткости. Очевидно, что модели конечных элементов будут различными для разных задач (анализ упругих или пластических деформаций, моделирование полей температур, электрических потенциалов и т. п.), разных форм конечных элементов (например, в двумерном случае — треугольные или четырехугольные элементы), разных наборов координатных функций.

Исходные данные для препроцессора — геометрическая модель объекта, чаще всего получаемая из подсистемы конструирования. Основная функция препроцессора — представление исследуемой среды (детали) в сеточном виде, т. е. в виде множества конечных элементов. Решатель — программа, которая ассемблирует (собирает) модели отдельных конечных элементов в общую систему алгебраических уравнений и решает эту систему одним из методов разреженных матриц. Постпроцессор служит для визуализации результатов решения в удобной для пользователя форме. В машиностроительных САПР это графическая форма.

Пользователь может видеть исходную (до нагружения) и деформированную формы детали, поля напряжений, температур, потенциалов и т. п. в виде цветных изображений, в которых палитра цветов или интенсивность свечения характеризуют значения фазовой переменной.

На рис. 4.10 при испытании передних стоек кабины машинистов на удар (проверка остаточного пространства) после получения картины деформированного состояния было выявлено, что практически не осталось пространства для ног манекена. По результатам моделирования было принято решение, что кабина должна быть существенно доработана.

Рис. 4.10. Анализ влияния конструктивных факторов на пассивную безопасность кабины грузового автомобиля при испытании передних стоек на удар

Очевидно, что модели конечных элементов будут различными для разных задач (анализ упругих или пластических деформаций, моделирование полей температур, электрических потенциалов и т. п.), разных форм конечных элементов (например, в двумерном случае — треугольные или четырехугольные элементы), разных наборов координатных функций.

Плотность сетки можно изменять. Деталь с разной плотностью сетки показана на рис. 4.11.

Рис. 4.11. Деталь с разной плотностью сетки: а — 212 элементов; б — 492 элемента; в — 1382 элемента

При построении сеточной модели необходимо искать оптимальную дискретность сетки, так как при этом задействованы ресурсы вычислительной системы: память, время и т. п. Сетка с большим количеством узлов позволяет находить более точное решение, но увеличивает расчетное время и объем используемой памяти. В идеале решение не должно зависеть от плотности сетки.

Библиотеки конечных элементов содержат их модели — матрицы жесткости.

Анализ методом конечных элементов начинают с аппроксимации исследуемой области (области задач) и деления ее на ячейки сетки. Реальная конструкция аппроксимируется сотнями конечных элементов, и следовательно появляются системы уравнений с сотнями и тысячами неизвестных, которые нужно решить. Методы решений зависят от размеров разрешающей системы уравнений.

Достаточно точно аппроксимировать сколь угодно сложную произвольную геометрию изделия позволяет тетраэдральная сетка. На автоматическое создание тетраэдральных конечно-элементных сеток ориентирован, например, препроцессор «Т-FLEX Анализ», который позволяет строить сетки двух типов: четырехузловые и десятиузловые (рис. 4.12). Элементы первого типа позволяют выполнить линейную аппроксимацию искомой функции (например, перемещений или температуры) в пределах объема конечных элементов. Элементы второго типа — десятиузловые, обеспечивают более высокий порядок аппроксимации — квадратичную и лучше аппроксимируют криволинейные границы.

Рис. 4.12. Тетраэдральные конечные элементы, используемые в «Т-FLEX Анализ»: а — линейный, четырехузловой; б — квадратичный, десятиузловой

Пользователь может выбрать для быстрой качественной оценки расчет линейным тетраэдральным конечным элементом, а для ответственного количественного анализа — квадратичным тетраэдром. В результате он получает объемную картинку, из которой видно, в каких зонах конструкции нужно удалить материал, чтобы она получилась равнопрочной. Использование МКЭ облегчает конструктору создание легких, прочных и изящных конструкций.

Настройки генератора сеток позволяют создавать адаптивные тетраэдральные сетки с переменным шагом. Такие сетки имеют сгущения конечных элементов в местах модели со сложной геометрией, в которых можно ожидать концентрации напряжений. Сетка может сгущаться и укрупняться по промежуточным результатам расчета, а не только исходя из геометрических особенностей модели.

При выполнении расчетов на основе геометрических параметров модели встроенный генератор автоматически создает сетку тел конечных элементов. Генерация КЭ-сетки осуществляется в автоматическом режиме с использованием таких параметров, как максимальная длина стороны элемента, максимальный коэффициент сгущения на поверхности, коэффициент разрежения в объеме. Правильный выбор максимальной длины стороны элемента является одним из наиболее важных этапов создания сетки. Как правило, длина стороны элемента должна быть примерно в 2—4 раза меньше толщины самой тонкой детали в сборке.

Максимальный коэффициент сгущения на поверхности — величина, характеризующая, во сколько раз при адаптивном разбиении будут уменьшены размеры конечных элементов (т. е. задается ограничение на минимальную сторону треугольника на поверхности). Коэффициент разрежения в объеме — степень уменьшения стороны тетраэдра при уходе вглубь объема твердотельной модели (чем меньше, тем более одинаковыми становятся слои конечных элементов). Использование данных параметров позволяет сетке «адаптироваться» к сложной твердотельной модели в автоматическом режиме.

Изменить плотность сетки, например, в условных единицах от 1 до 10, позволяет генератор. Механизм генерации сетки может быть оптимизирован таким образом, чтобы регулярность элементов не превышала пределов, существенно снижающих точность расчетов.

Конечно-элементная сетка может автоматически уменьшаться в точках, содержащих мелкие геометрические элементы (рис. 4.13). Минимизируя вес при выполнении условий по прочности, можно получить оптимальную в весовом отношении конструкцию.

Метод конечно-элементного анализа позволяет задать граничные условия для задачи и найти оптимальное конструкторское решение, манипулируя различными вариантами конструкции изделия. Например, приложение давления к верхней грани балки может показать необходимость дополнительных ребер жесткости (рис. 4.14). Система автоматически учтет произведенные изменения.

Местную и общую плотность сетки можно задать прямо на модели, используя такие конечные элементы, как треугольники, если речь идет о варианте поверхностного моделирования, или объемные четырехугольники и тетраэдры. Все выполненные построения сетки ассоциативно связаны с анализируемой моделью, а потому при изменении ее параметров меняются автоматически. Элементы модели, в анализе которых нет необходимости, могут быть временно исключены (подавлены), что уменьшает время расчетов. Усложнение формы конструкции влияет на время разбивки.

Изделие можно анализировать в статическом, динамическом и температурном режиме. При проведении статического расчета предполагается, что и деформации, и перемещения элементов конструкции малы. Отсюда следует, что в процессе нагружения форма конечных элементов не меняется и для описания деформаций можно использовать линейные соотношения. На практике эти предположения часто приводят к неправильным результатам даже при малых деформациях, не превышающих предел упругости материала конструкции. Для точного определения перемещений ряда конструкций может оказаться необходимым учет геометрической нелинейности.

Рис. 4.13. Минимизация веса конструкции при выполнении условий по прочности

Рис. 4.14. Выбор оптимального конструкторского решения для различных вариантов конструкции изделия:

а — приложение давления к верхней грани балки; б — дополнительные ребра жесткости

Анализ изотропных, ортотропных и анизотропных моделей материалов осуществляется по заданным пользователем нагрузкам и позволяет использовать итерационный подход к моделированию и оптимизации конструкции. Результаты анализа напряженно-деформи- руемого состояния изделия представляются в интуитивно понятном цветном графическом виде, облегчающем их интерпретацию, или в виде мультипликации, например, в Siemens PLM Software (Unigraphics), а данные различных сценариев (случаев нагружения) можно сравнивать в одном и том же окне результатов.

Для лучшего визуального контроля точки, которые нагреваются до одинаковых температур или испытывают одинаковые давления, закрашиваются одним и тем же цветом. Цветовая шкала давлений (рис. 4.15) или температур приводится рядом с рисунком.

Рис. 4.15. Анализ нагрузок, возникающих в различных точках зубьев протяжки

в процессе резания

С помощью МКЭ можно выполнять конструкторские и технологические расчеты пластических деформаций в зоне контакта базовой поверхности заготовки с базирующим элементом приспособления, тепловых деформаций приспособления и заготовки. При проведении расчета поверхности контакта разбиваются сеткой конечных элементов. Задают конкретные значения допустимого износа и рассчитывают износ поверхностей. На основе расчетов можно проектировать детали, обеспечивающие безаварийную работу изделия. Ограничивающим фактором при проведении расчетов МКЭ служит объем оперативной памяти.