Известно что проверяемая фирма может уходить от налогов с вероятностью 40

Опубликовано: 17.09.2024

Предположим теперь другую ситуацию: пусть теперь известно, что событие A произошло. Это знание влияет на нашу оценку вероятностей гипотез Н_k, т.е. на вероятность того, что событие A произошло именно путем Н_k. Эти условные вероятности (т.е. при условии, что событие А произошло), вычисляются с помощью формулы Байеса:

Отметим, что в знаменателе этой формулы записана ничто иное как вероятность Р(А), вычисленная по формуле полной вероятности.

Задача 6. (см. задачу 4) Известно, что студент сдавал экзамен, но получил «неуд». Кому из трех преподавателей вероятнее всего он отвечал?

Решение. Вероятность получить «неуд» равна . Требуется вычислить условные вероятности . По формулам Байеса получаем:

Отсюда следует, что вероятнее всего слабо подготовившийся студент сдавал экзамен третьему экзаменатору.

Задачи для самостоятельного решения

1. Рабочий обслуживает три независимо работающих станка. Событие А_i =< i-ый станок в течении часа потребует наладки>, Р(А_i)=0,2, i=1,2,3. Выразить события: а) ровно два станка потребуют наладки; б) не более двух потребуют наладки; в) хотя бы один потребует наладки. Найти вероятность события в).

2. Стрелок делает три выстрела, при этом он поражает цель с вероятностью 0,6 при одном выстреле. Событие А_i=< i-ая пуля попала в цель >, i=1,2,3. Выразить события: а) было хотя бы одно попадание; б) ровно одно попадание; в) не менее двух попаданий. Найти вероятность события в).

3. В коробке 4 детали. Мастер извлекает детали до тех пор, пока не вытащит годную. Событие = < i-ая извлеченная деталь является годной >, Выразить события, состоящие в том, что мастер сделал а) ровно одно извлечение; б) ровно 2 извлечения; в) не менее двух извлечений. Найти вероятность б).

4. Пусть А,В,С – три произвольных события. Найти выражение для событий, состоящих в том, что: а) произошли все три события; б) произошло хотя бы одно из событий; в) произошли хотя бы два события; г) произошли два и только два события; д) произошло ровно одно событие; е) ни одно событие не произошло; ж) произошло не более двух событий.

5. Прибор состоит из трех блоков первого типа и четырех блоков второго типа. Событие А_i =<исправен i-ый блок первого типа>, i=1,2,3, В_j = <исправен j-ый блок второго типа>, j=1,2,3,4. Прибор работает, если исправны хотя бы один блок первого типа и не менее трех блоков второго типа. Найти выражение для события С, которое соответствует работающему состоянию прибора.

6. В пакете с леденцами лежит 4 красных, 5 желтых и 6 зеленых конфет. Найти вероятность наудачу вынуть подряд 3 конфеты одного цвета.

7. В партии из 20 изделий 4 бракованных. Найти вероятность того, что в выборке из 5 изделий не более одного бракованного.

8. В лифт 9-этажного дома на первом этаже входят 6 человек. Для каждого человека равновероятен выход на любом из 8 этажей. Известно, что все вышли на разных этажах. При этом условии найти вероятность, что на первых трех этажах вышли два человека.

9. Три пассажира садятся в поезд, случайно выбирая любой из 6 вагонов. Какова вероятность, что хотя бы один из них сядет в первый вагон, если известно, что они сели в разные вагоны?

10. В ящике 12 красных , 8 зеленых и 10 синих шаров .Наудачу вынимаются два шара. Какова вероятность, что вынутые шары разного цвета, если известно, что не вынут синий шар?

11. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность, что во всех ящиках разное число шаров при условии, что все они не пустые.

12. Двое шахматистов равной силы играют 4 партии. Найти вероятность, что победил первый, если известно, что каждый выиграл хоть один раз.

13. В лифт на цокольном этаже входят 5 человек. Считая для каждого человека равновероятном выход на любом из 9 этажей, найти вероятность того, что двое из них выйдут на одном этаже, а остальные на разных.

14. Известно, что 5-значный номер телефона имеет все цифры разные. Какова вероятность при этом условии, что среди них ровно четная (0 считаем четной цифрой и телефонный номер может начинаться с нуля).

15. Пять человек случайным образом (независимо друг от друга) выбирают любой из 7 вагонов поезда. Известно, что некоторые 2 вагона остались пустыми. Какова вероятность при этом условии, что все сели в различные вагоны, в том числе в первый и во второй?

16. В урне 5 белых и 10 черных шаров. Извлечены 6 шаров (с возвращением). Известно, что среди них есть белые шары. При этом условии найти вероятность того, что среди них будут также не менее двух черных шаров.

17. Семь пассажиров случайным образом выбирают один из 9 вагонов поезда. Известно, что они сели в разные вагоны, при этом условии найти вероятность того, что в первых трех вагонах поезда будут ехать два человека.

18. Распределяются 5 шаров по трем ящикам. Известно, что нет пустых ящиков. При этом условии найти вероятность, что в первом ящике лежит один шар.

19. В четырех группах учится 100 человек (по 25 человек в каждой). На олимпиаду отобрано 5 человек. Какова вероятность, что среди них будут представители всех классов?

20. Сколько раз надо бросить игральную кость, чтобы на 95% быть уверенным в том, что хотя бы при одном бросании появится «шестерка»?

21. Известно, что в пятизначном номере телефона все цифры разные. Найти вероятность того, что среди них есть цифры 1 и 2.

22. Бросают три кубика. Какова вероятность того, что хотя бы на одном из них выпадет «шестерка», если известно, что на всех кубиках выпали разные грани?

23. Фирма участвует в 4 проектах, каждый из которых может закончиться неудачей с веростностью 0,1. В случае неудачи одного проекта вероятность разорения фирмы равна 20%, двух – 50%, трех – 70%, четырех – 90%. Найти вероятность разорения фирмы.

24. Два аудитора проверяют 10 фирм (по 5 фирм каждый), у двух из которых имеются нарушения. Вероятность обнаружения нарушений первым аудитором равна 80%, вторым – 90%. Найти вероятность, что обе фирмы-нарушители будут выявлены.

25. В первой урне лежат один белый и три черных шара, а во второй урне – 2 белых и 1 черный шар. Из первой урны во вторую перекладывается не глядя один шар, а затем один шар перекладывается из второй урны в первую. После этого из первой урны вынули один шар. Найти вероятность, что он белый.

26. В прибор входит комплект из двух независимых деталей, вероятность для которых выйти из строя в течение года соответственно равна 0,1 и 0,2. Если детали исправны, то прибор работает в течение года с вероятностью 0,99. Если выходит из строя только первая деталь, то прибор работает с вероятностью 0,7, а если только вторая – то с вероятностью 0,8. Если выходят из строя обе детали, прибор будет работать с вероятностью 0,1. Какова вероятность, что прибор будет работать в течение года?

27. Электроэнергия поступает в город через три электролинии, каждая из которых может быть отключена с вероятностью 0,1. Если отключена одна электролиния, город испытывает недостаток электроэнергии с вероятностью 0,8. Если отключены три электролинии, недостаток электроэнергии ощущается с вероятностью 0,5. Если же отключены все три электролинии, то недостаток электроэнергии есть с вероятностью 1. В случае, когда работают все электролинии, недостатка энергии нет. Какова вероятность, что в день проверки город испытывает недостаток электроэнергии?

28. Фирма нарушает закон с вероятностью 0,25. Аудитор обнаруживает нарушения с вероятностью 0,75. Проведенная им проверка не выявила нарушений. Найти вероятность, что они на самом деле есть.

29. Изделие имеет скрытые дефекты с вероятностью 0,2. В течение года выходит из строя 75% изделий со скрытыми дефектами и 15% изделий без дефектов. Найти вероятность, что изделие имело скрытые дефекты, если оно вышло из строя в течение года.

30. Из урны, где было 4 белых и 6 черных шаров, потерян один шар неизвестного цвета. После этого из урны извлечены (без возвращения) два шара, оказавшиеся белыми. При этом условии найти вероятность, что потерян был черный шар.

31. Производственный брак составляет 4%. Каждое изделие равновероятным образом поступает к одному из двух контролеров, первый из которых обнаруживает брак с вероятностью 0,92, второй – 0,98. Какова вероятность, что признанное годным изделие является бракованным.

32. В центральную бухгалтерию корпорации поступили пачки накладных для проверки и обработки. 90% пачек были признаны удовлетворительными: они содержали 1% неправильно оформленных накладных. Остальные 10% накладных были признаны неудовлетворительными, т.к. они содержали 5% неправильно оформленных накладных. Какова вероятность того, что взятая наугад накладная оказалась неправильно оформленной? (р₁=0,1; р₂=0,014)

33. Известно, что проверяемая фирма может уйти от налогов с вероятностью 40% и выбрать для этого одну из трех схем (равновероятно). Найти вероятность, что фирма уходит от налогов по третьей схеме, если по первым двум схемам нарушений не обнаружено.

34. Стрелок А поражает мишень с вероятностью 0,6., стрелок Б - с вероятностью 0,5 и стрелок В – с вероятностью 0,4. Стрелки дали залп по мишени, и две пули попали в цель. Что вероятнее: попал стрелок В в мишень или нет?

35. Имеются три партии по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15 и 10. Из наудачу выбранной партии извлечена деталь, оказавшейся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наугад извлекают деталь, которая оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

Дата добавления: 2015-01-12 ; просмотров: 36 | Нарушение авторских прав

Налоговики рассказали, как составляют план выездных проверок: бизнесменов проверяют по 12 критериям. В первую очередь в план попадают предприниматели, которые за год заплатили меньше налогов, чем в среднем по отрасли. Это основной показатель — уровень налоговой нагрузки. Чем больше показателей не выполняет бизнесмен, тем выше вероятность того, что к нему придут с проверкой.

В статье рассказываем, как оценить свой бизнес по критериям налоговой. А еще делимся опытом бизнесмена, который ни разу за пять лет не попал в план проверок — рассказываем, как ему это удалось.

Автор: Ирина Ситникова
Иллюстратор: Ivan Might

На форумах и в соцсетях иногда пишут, что налоговикам запрещено проверять бизнесменов первые три года после регистрации. Это миф. По закону они могут прийти на следующий день после регистрации. Но это бессмысленно, поэтому не приходят.

На самом деле налоговики не имеют права приходить к бизнесмену с проверкой чаще двух раз в год (п. 5 ст. 89 НК РФ). А по одному и тому же поводу могут прийти только раз в течение года. Например, если вас проверили по НДС, то в этом же году могут прийти и проверить по налогу на прибыль, а требовать информацию по НДС уже не имеют права. После этого по любому поводу к вам придут не раньше следующего года. Других ограничений по частоте и количеству выездных проверок в законе нет.

Налоговая нагрузка ниже нормы

Для всех организаций и ИП

Налоговая нагрузка показывает, какой процент выручки бизнесмен отдает государству. Это основной критерий, на который налоговики ориентируются, когда отбирают бизнесменов для проверки.

Сумму всех налогов рассчитывают с учетом налога на доходы физических лиц, который бизнесмен платит за своих работников. Сумму страховых взносов в расчет не включают — нагрузку по ним рассчитывают отдельно.

Налоговики ежегодно рассчитывают налоговую нагрузку для каждой отрасли. Если показатель налоговой нагрузки ниже, чем по отрасли, вы с большой вероятностью попадете в план проверок. Если выше, налоговая скорее всего к вам не придет. Чтобы оценить уровень риска, рассчитайте размер налоговой нагрузки своего бизнеса и сравните с показателем по отрасли.

Предположим, владелец кофейни за год выручил 12 000 000 ₽ и заплатил 540 000 ₽ налогов.

В таблице из приказа налоговой находим размер налоговой нагрузки в сфере общепита — 9,5%. Показатель кофейни в два раза ниже, чем по отрасли. Скорее всего, бизнесменом заинтересуются налоговики.

Если ваш уровень налоговой нагрузки ниже, чем по отрасли, удостоверьтесь, что всё правильно рассчитали и показали в отчете для налоговой. Если нашли ошибку, исправьте и подайте корректирующий отчет. Если всё верно и договоры, акты и другие подтверждающие документы в порядке, беспокоиться нечего.

Регулярные убытки

Для всех организаций и ИП

Если бизнесмен два года подряд и больше показывает в отчетах убытки, это подозрительно. Возможно, он создает их искусственно, чтобы не платить налоги.

Низкая зарплата работников

Для всех организаций и ИП

Если среднемесячная зарплата работников ниже показателя по отрасли в регионе, бизнесмена заподозрят в том, что он платит зарплату в конвертах или скрывает трудовые отношения с работниками. А значит — уклоняется от уплаты страховых взносов и не перечисляет налог на доходы физических лиц за своих работников.

На сайте Росстата скачайте информацию о размере зарплат по регионам и сравните со своими показателями

Игнорирование запросов инспектора

Для всех организаций и ИП

К бизнесмену придут с проверкой, если он игнорирует налоговую: в течение пяти дней не отвечает на запросы, не подает документы, которые требуют налоговики, или отказывается пояснять нестыковки и ошибки в декларации, которые выявил инспектор.

Миграция между налоговыми инспекциями

Для всех организаций и ИП

Если бизнесмен чаще одного раза меняет адрес фирмы так, что переходит в другую налоговую, это подозрительно. Возможно, бизнесмен старается избежать внимания налоговой и уклониться от проверок.

Работа через цепочку посредников

Для всех организаций и ИП

Если бизнес работает по цепочке договоров с посредниками и перекупщиками, через новую фирму сразу проходят крупные суммы денег, а все участники сделки связаны между собой, это подозрительно. Вероятно, это фирма-однодневка, которая помогает уклоняться от уплаты налогов и отмывать деньги. Такими фирмами заинтересуются не только налоговики, но и правоохранительные органы.

Список признаков, по которым выявляют потенциальных преступников, перечислили в Постановлении пленума Высшего арбитражного суда РФ от 12.10.2006 N 53.

Деятельность с высоким налоговым риском

Для всех организаций и ИП

Если налоговая узнает, что предприниматель сотрудничал с фирмой-однодневкой, заподозрит в преступлении и его. Неважно, знал ли предприниматель о незаконной деятельности партнера или случайно связался с преступником.

Чтобы избежать проблем, проверяйте новых партнеров. Вероятно, вы столкнулись с фирмой-однодневкой, если (п. 12 приложения №2 Приказа ФНС России от 30.05.2007 N ММ-3-06/333@):

— руководитель фирмы не хочет общаться с вами лично, даже когда подписываете договор;
— руководитель отказывается показывать устав или другой учредительный документ, который подтверждает, что он руководит фирмой;
— руководитель отказывается показывать паспорт или загранпаспорт — не хочет подтверждать свою личность;
— у фирмы нет адреса: неизвестно, где она находится, где ее производство и склады;
— фирма никому не известна, в интернете и СМИ о ней ничего нет. Тем более это подозрительно, если другие аналогичные компании активно себя рекламируют в интернете, на телевидении и баннерах;
— фирма не зарегистрирована в Едином государственном реестре юридических лиц;
— сотрудник фирмы отказывается показать стандартные для бизнеса документы: свидетельства, лицензии, документы на имущество.

Это основные признаки фирмы-однодневки, но не все. Если сомневаетесь, проверьте партнера по базам налоговой.

Ссылки на базы налоговой в конце страницы под реестром юрлиц

Бизнесменам, которые случайно связались с фирмой-однодневкой, хотят в этом признаться и избежать проверки, налоговики рекомендуют убрать сомнительные операции из расчета суммы налога и подать уточненную декларацию с пояснительной запиской. В этом случае проверку можно избежать.

Если налоговики подозревают бизнесмена в других нарушениях, местная налоговая передаст информацию о нем в федеральную налоговую. ФНС решит, отправлять к бизнесмену проверяющих или нет.

Показатели на спецрежимах близки к предельным

Для организаций и ИП на спецрежимах

Для спецрежимов государство ввело предельные показатели. Если бизнесмен приближается к предельному показателю на 1–5% несколько раз за год, это подозрительно. Возможно, он искусственно их занижает, чтобы не лишиться права работать на спецрежиме.

Предельные показатели перечислены в Налоговом кодексе.

— годовой доход не более 150 млн рублей;
— количество работников не более 150 человек;
— остаток основных средств не более 150 млн рублей;
— доля участия других организаций не более 25%.

— площадь торгового зала или зала обслуживания посетителей не более 150 м²;
— общая площадь спальных помещений в гостинице или отеле не более 500 м²;
— количество работников не более 100 человек.

Для ЕСХН (ст. 346.3 НК РФ): доходы от сельскохозяйственной деятельности должны быть не менее 70% всех доходов.

Налоговый вычет по НДС выше 89%

Для организаций и ИП на общей системе налогообложения

Если бизнесмен уменьшает налоги с помощью налогового вычета больше чем на 89%, налоговая заподозрит его в махинациях.

Налоговый вычет — это сумма, которая уменьшает налог. В основном это НДС из счетов-фактур поставщиков товаров и услуг, которые бизнесмен купил.

Уровень рентабельности организации на 10% ниже нормы

Для организаций на общей системе налогообложения

Если рентабельность продаж и активов ниже на 10% и больше, чем по отрасли, бизнесмена могут заподозрить в уклонении от уплаты налога на прибыль.

Рентабельность показывает, насколько эффективно бизнесмен использует ресурсы: деньги, товары, основные средства. По результатам года налоговики рассчитывают показатели рентабельности по видам деятельности.

Предположим, владелец кофейни зарабатывает только продажами кофе, чая и выпечки. За год он получил прибыль 300 000 ₽, закупил товаров на 4 000 000 ₽, его активы на конец года составляют 3 000 000 ₽.

Рентабельность продаж общепита из документа налоговой — 7,0%, рентабельность активов — 3,3%. Показатель кофейни выше, чем по отрасли. Вряд ли налоговики заинтересуются кофейней.

Расходы организации растут быстрее доходов

Для организаций на общей системе налогообложения

Если в каждом квартале расходы растут быстрее доходов, это подозрительно. Возможно, бизнесмен занижает доходы или завышает расходы, чтобы не платить налог на прибыль.

Расходы ИП близки к доходам

Для ИП на общей системе налогообложения

Бывает, предприниматель по результатам года выходит в ноль — расходы равны доходам. В этом случае платить налог на доходы физических лиц не с чего. Налоговая может заподозрить, что бизнесмен подгоняет расходы под доходы, чтобы не платить налог.

Также бизнесмена заподозрят в махинациях, если налоговый вычет на доходы физических лиц окажется выше 83% от суммы доходов.

Что говорят бизнесмены

Мы поговорили с бизнесменом из Питера, который производит мебель. Он руководит ООО на общей системе налогообложения. Это самый сложный налоговый режим из всех: бизнесмен платит НДС, налог на прибыль, транспортный налог и налог на имущество. Он поделился опытом, как ему удается избегать выездных проверок.

За пять лет к бизнесмену ни разу не пришли с налоговой проверкой. Это заслуга бухгалтера на аутсорсе — он проверяет показатели фирмы по всем 12 критериям. В течение года он следит, чтобы налоговая нагрузка была не ниже, чем по отрасли, контролирует доходы, расходы, начисление НДС и сумму налоговых вычетов по нему. Фирма не связывается с сомнительными схемами и подозрительными компаниями — дотошно проверяет каждого поставщика. А в конце года, прежде чем подать декларацию, бухгалтер еще раз прогоняет показатели фирмы по всем критериям налоговой. Это работает: бизнесмен не нарушает закон, и налоговики его не тревожат.

Бизнесмен рассказал, что помимо 12 критериев есть еще один, на который ориентируются налоговики — минимальный размер оплаты труда (МРОТ). Они наверняка придут с проверкой к тем, кто платит своим работникам зарплату ниже минимального уровня. Для Питера с 1 мая 2018 года МЗП равна 17 000 ₽, но бизнесмен предпочитает платить на тысячу-две больше, чтобы наверняка. Этим негласным правилом руководствуются как налоговики, так и бизнесмены.

Мы не можем гарантировать, что вы не попадете в план проверок, даже если у вас все показатели в норме. Но опыт бизнесмена, с которым мы разговаривали, показывает, что ни разу не попасть в план проверок возможно.

Подытожим

Налоговики составляют план проверок не наобум, а только после того, как проанализируют годовую отчетность. Потенциальных нарушителей отбирают по 12 критериям. В первую очередь займутся теми, кого заподозрят в преступной деятельности, отмывании денег и уклонении от уплаты налогов. Затем заинтересуются бизнесменами, у которых зашкаливают один-два показателя. Бизнесмены, у которых все показатели в норме, вряд ли попадут в план проверок

Чтобы узнать, грозит ли вам проверка:

1. Оцените свой бизнес по критериям налоговой.

2. Если обнаружили отклонения, проверьте, все ли операции попали в отчет для налоговой и нет ли ошибок в расчетах.

3. Если ошиблись, подайте корректирующий отчет. Если ошибок нет, вы ничего не нарушили, всё законно и подтверждающие документы на месте, предоставите их налоговой в случае проверки.

4. Чтобы в дальнейшем не попасть в план проверок налоговой, старайтесь не отклоняться от нормы по тем показателям, на которые они ориентируются.

Решение. Вероятность получить «неуд» равна
. Требуется вычислить условные вероятности
. По формулам Байеса получаем:

Отсюда следует, что вероятнее всего слабо подготовившийся студент сдавал экзамен третьему экзаменатору.

Задачи для самостоятельного решения

Рабочий обслуживает три независимо работающих станка. Событие А_i =< i-ый станок в течении часа потребует наладки>, Р(А_i)=0,2, i=1,2,3. Выразить события: а) ровно два станка потребуют наладки; б) не более двух потребуют наладки; в) хотя бы один потребует наладки. Найти вероятность события в).

Стрелок делает три выстрела, при этом он поражает цель с вероятностью 0,6 при одном выстреле. Событие А_i=< i-ая пуля попала в цель >, i=1,2,3. Выразить события: а) было хотя бы одно попадание; б) ровно одно попадание; в) не менее двух попаданий. Найти вероятность события в).

В коробке 4 детали. Мастер извлекает детали до тех пор, пока не вытащит годную. Событие
= < i-ая извлеченная деталь является годной >,
Выразить события, состоящие в том, что мастер сделал а) ровно одно извлечение; б) ровно 2 извлечения; в) не менее двух извлечений. Найти вероятность б).

Пусть А,В,С – три произвольных события. Найти выражение для событий, состоящих в том, что: а) произошли все три события; б) произошло хотя бы одно из событий; в) произошли хотя бы два события; г) произошли два и только два события; д) произошло ровно одно событие; е) ни одно событие не произошло; ж) произошло не более двух событий.

Прибор состоит из трех блоков первого типа и четырех блоков второго типа. Событие А_i =<исправен i-ый блок первого типа>, i=1,2,3, В_j = <исправен j-ый блок второго типа>, j=1,2,3,4. Прибор работает, если исправны хотя бы один блок первого типа и не менее трех блоков второго типа. Найти выражение для события С, которое соответствует работающему состоянию прибора.

В пакете с леденцами лежит 4 красных, 5 желтых и 6 зеленых конфет. Найти вероятность наудачу вынуть подряд 3 конфеты одного цвета.

В партии из 20 изделий 4 бракованных. Найти вероятность того, что в выборке из 5 изделий не более одного бракованного.

В лифт 9-этажного дома на первом этаже входят 6 человек. Для каждого человека равновероятен выход на любом из 8 этажей. Известно, что все вышли на разных этажах. При этом условии найти вероятность, что на первых трех этажах вышли два человека.

Три пассажира садятся в поезд, случайно выбирая любой из 6 вагонов. Какова вероятность, что хотя бы один из них сядет в первый вагон, если известно, что они сели в разные вагоны?

В ящике 12 красных , 8 зеленых и 10 синих шаров .Наудачу вынимаются два шара. Какова вероятность, что вынутые шары разного цвета, если известно, что не вынут синий шар?

Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность, что во всех ящиках разное число шаров при условии, что все они не пустые.

Двое шахматистов равной силы играют 4 партии. Найти вероятность, что победил первый, если известно, что каждый выиграл хоть один раз.

В лифт на цокольном этаже входят 5 человек. Считая для каждого человека равновероятном выход на любом из 9 этажей, найти вероятность того, что двое из них выйдут на одном этаже, а остальные на разных.

Известно, что 5-значный номер телефона имеет все цифры разные. Какова вероятность при этом условии, что среди них ровно четная (0 считаем четной цифрой и телефонный номер может начинаться с нуля).

Пять человек случайным образом (независимо друг от друга) выбирают любой из 7 вагонов поезда. Известно, что некоторые 2 вагона остались пустыми. Какова вероятность при этом условии, что все сели в различные вагоны, в том числе в первый и во второй?

В урне 5 белых и 10 черных шаров. Извлечены 6 шаров (с возвращением). Известно, что среди них есть белые шары. При этом условии найти вероятность того, что среди них будут также не менее двух черных шаров.

Семь пассажиров случайным образом выбирают один из 9 вагонов поезда. Известно, что они сели в разные вагоны, при этом условии найти вероятность того, что в первых трех вагонах поезда будут ехать два человека.

Распределяются 5 шаров по трем ящикам. Известно, что нет пустых ящиков. При этом условии найти вероятность, что в первом ящике лежит один шар.

В четырех группах учится 100 человек (по 25 человек в каждой). На олимпиаду отобрано 5 человек. Какова вероятность, что среди них будут представители всех классов?

Сколько раз надо бросить игральную кость, чтобы на 95% быть уверенным в том, что хотя бы при одном бросании появится «шестерка»?

Известно, что в пятизначном номере телефона все цифры разные. Найти вероятность того, что среди них есть цифры 1 и 2.

Бросают три кубика. Какова вероятность того, что хотя бы на одном из них выпадет «шестерка», если известно, что на всех кубиках выпали разные грани?

Фирма участвует в 4 проектах, каждый из которых может закончиться неудачей с веростностью 0,1. В случае неудачи одного проекта вероятность разорения фирмы равна 20%, двух – 50%, трех – 70%, четырех – 90%. Найти вероятность разорения фирмы.

Два аудитора проверяют 10 фирм (по 5 фирм каждый), у двух из которых имеются нарушения. Вероятность обнаружения нарушений первым аудитором равна 80%, вторым – 90%. Найти вероятность, что обе фирмы-нарушители будут выявлены.

В первой урне лежат один белый и три черных шара, а во второй урне – 2 белых и 1 черный шар. Из первой урны во вторую перекладывается не глядя один шар, а затем один шар перекладывается из второй урны в первую. После этого из первой урны вынули один шар. Найти вероятность, что он белый.

В прибор входит комплект из двух независимых деталей, вероятность для которых выйти из строя в течение года соответственно равна 0,1 и 0,2. Если детали исправны, то прибор работает в течение года с вероятностью 0,99. Если выходит из строя только первая деталь, то прибор работает с вероятностью 0,7, а если только вторая – то с вероятностью 0,8. Если выходят из строя обе детали, прибор будет работать с вероятностью 0,1. Какова вероятность, что прибор будет работать в течение года?

Электроэнергия поступает в город через три электролинии, каждая из которых может быть отключена с вероятностью 0,1. Если отключена одна электролиния, город испытывает недостаток электроэнергии с вероятностью 0,8. Если отключены три электролинии, недостаток электроэнергии ощущается с вероятностью 0,5. Если же отключены все три электролинии, то недостаток электроэнергии есть с вероятностью 1. В случае, когда работают все электролинии, недостатка энергии нет. Какова вероятность, что в день проверки город испытывает недостаток электроэнергии?

Фирма нарушает закон с вероятностью 0,25. Аудитор обнаруживает нарушения с вероятностью 0,75. Проведенная им проверка не выявила нарушений. Найти вероятность, что они на самом деле есть.

Изделие имеет скрытые дефекты с вероятностью 0,2. В течение года выходит из строя 75% изделий со скрытыми дефектами и 15% изделий без дефектов. Найти вероятность, что изделие имело скрытые дефекты, если оно вышло из строя в течение года.

Из урны, где было 4 белых и 6 черных шаров, потерян один шар неизвестного цвета. После этого из урны извлечены (без возвращения) два шара, оказавшиеся белыми. При этом условии найти вероятность, что потерян был черный шар.

Производственный брак составляет 4%. Каждое изделие равновероятным образом поступает к одному из двух контролеров, первый из которых обнаруживает брак с вероятностью 0,92, второй – 0,98. Какова вероятность, что признанное годным изделие является бракованным.

В центральную бухгалтерию корпорации поступили пачки накладных для проверки и обработки. 90% пачек были признаны удовлетворительными: они содержали 1% неправильно оформленных накладных. Остальные 10% накладных были признаны неудовлетворительными, т.к. они содержали 5% неправильно оформленных накладных. Какова вероятность того, что взятая наугад накладная оказалась неправильно оформленной? (р₁=0,1; р₂=0,014)

Известно, что проверяемая фирма может уйти от налогов с вероятностью 40% и выбрать для этого одну из трех схем (равновероятно). Найти вероятность, что фирма уходит от налогов по третьей схеме, если по первым двум схемам нарушений не обнаружено.

Стрелок А поражает мишень с вероятностью 0,6., стрелок Б - с вероятностью 0,5 и стрелок В – с вероятностью 0,4. Стрелки дали залп по мишени, и две пули попали в цель. Что вероятнее: попал стрелок В в мишень или нет?

Имеются три партии по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15 и 10. Из наудачу выбранной партии извлечена деталь, оказавшейся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наугад извлекают деталь, которая оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

2.23. Производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А может появиться с какой-то вероятностью; для i-го опыта эта вероятность равна рi = (i = 1, 2, . п). Задан ряд вероятностей: p1,p2,….,pn. Найти вероятность R1 того, что событие А появится хотя бы один раз.

2.24. Управляющие роботом команды искажаются из-за помех в канале связи (надежность канала связи 0,95) и, независимо от этого, из-за неисправности системы управления (надежность системы управления 0,90), причем данные два типа искажений не компенсируют, а лишь усиливают друг друга.Какова вероятность того, что робот не выполнит команды?

2.25. Синоптики Аляски и Чукотки независимо друг от друга не предсказывают погоду ("ясно - пасмурно") в Беринговом проливе, ошибаясь с вероятностями 0,1 и 0,3 соответственно. Их предсказания на завтра совпали. Какова вероятность того, что эти предсказания ошибочны?

3.1. Брошены три кубика. Какова вероятность того, что хотя бы на одном из них выпадет «шестерка», если известно, что на всех кубиках выпали разные грани?

3.2. Фирма участвует в четырех проектах, каждый из которых может закончиться неудачей с вероятностью 0,1. В случае неудачи одного проекта

вероятность разорения фирмы равна 20 %, двух - 50 %, трех - 70 %, четырех - 90 %. Определить вероятность разорения фирмы.

3.3. Два аудитора проверяют 10 фирм (по 5 каждый), в двух из которых допущены нарушения. Вероятность обнаружения нарушений первым аудитором равна 80 %, вторым — 90 %. Найти вероятность того, что обе фирмы-нарушителя будут выявлены.

3.4. В первой урне 1 белый и 3 черных шара, во второй — 2 белых и 1 черный шар. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар, а затем один шар перекладывают из второй урны в первую. После этого из первой урны вынули один шар. Какова вероятность того, что он белый?

3.5. Прибор укомплектован двумя независимыми деталями, вероятность выхода из строя которых в течение года равна 0,1 и 0,2 соответственно. Если детали исправны, то прибор работает в течение года с вероятностью 0,99. Если выходит из строя только первая деталь, то прибор работает с вероятностью 0,7, а если только вторая — с вероятностью 0,8. Если выходят из строя обе детали, прибор будет работать с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что прибор будет работать в течение года?

3.6. Электроэнергия поступает в город по трем линиям, каждая из которых может быть отключена с вероятностью 0,1. Если отключается одна электролиния, город испытывает недостаток электроэнергии с вероятностью 0,2. Если отключены две электролинии, недостаток электроэнергии ощущается с вероят-ностью 0,5. Если же отключены все три электролинии, то вероятность недостатка электроэнергии равна единице. Какова вероятность того, что в день проверки город испытывает недостаток электроэнергии?

3.7. Фирма нарушает закон с вероятностью 0,25. Обычно аудитор обнаруживает нарушения с вероятностью 0,75. Однако в данном случае проведенная им проверка нарушений не выявила. Найти вероятность того, что они на самом деле есть.

3.8. Изделие имеет скрытые дефекты с вероятностью 0,2. В течение года выходит из строя 75 % изделий со скрытыми дефектами и 15 % — без дефектов. Найти вероятность того, что изделие имело скрытые дефекты, если оно вышло из строя в течение года.

3.9. Из урны, где было 4 белых и 6 черных шаров, потерян один шар неизвестного цвета. После этого из урны извлечены (без возвращения) 2 шара, оказавшиеся белыми. При этом условии найти вероятность того, что потерян был черный шар.

3.10. Производственный брак составляет 4 %. Каждое изделие равновероятным образом поступает к одному из двух контролеров, первый из которых обнаруживает брак с вероятностью 0,92, второй — 0,98. Какова вероятность того, что признанное годным изделие является бракованным?

3.11. В центральную бухгалтерию корпорации поступили пачки накладных для проверки и обработки. При этом 90 % пачек были признаны удовлетворительными – они содержали только 1 % неправильно оформленных накладных. Остальные 10 % накладных были признаны неудовлетворительными, так как содержали уже 5 % неправильно оформленных накладных. Какова вероятность того, что взятая наугад накладная оказалась неправильно оформленной?

3.12. Известно, что проверяемая фирма может уходить от налогов с вероятностью 40 %, выбирая для этого одну из трех схем (равновероятно). Найти вероятность того, что фирма уходит от налогов по третьей схеме, если по первым двум нарушений не обнаружено.

3.13. Стрелок А поражает мишень с вероятностью 0,6, стрелок Б — с вероятностью 0,5 и стрелок В — с вероятностью 0,4. Стрелки дали залп по мишени, но только две пули попали в цель. Что вероятнее: попал стрелок В в мишень или нет?

3.14. Имеются три партии деталей по 20 в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20,15 и 10. Из наудачу выбранной партии извлекают деталь, которая оказывается стандартной. Деталь возвращают в ту же партию и вторично из нее же наугад опять извлекают деталь, которая тоже оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

3.15. По линии связи передаются два сигнала A и B соответственно с вероятностями 0,72 и 0,25. Из-за помех 1/6 часть A-сигнала искажается и принимается как B- сигналы, а 1/7 часть переданных B- сигналов принимается как A- сигналы. Определить вероятность того, что на приемном пункте будет принят A- сигнал. Известно, что принят A- сигнал. Какова вероятность того, что он же и был передан?

3.16. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно p3, p2, p3. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут проданы, равна для первой кассы p4,

для второй – p5, для третьей – p6. Какова вероятность того, что пассажир приобретет билет?

3.17. Испытывается прибор, состоящий из двух узлов: 1 и 2. Надежности (вероятности безотказной работы за время τ) узлов 1 и 2 известны и равны р1 = 0,8; р2 = 0,9. Узлы отказывают независимо друг от друга. По истечении времени τ выяснилось, что прибор неисправен. Найти с учетом этого вероятности гипотез:H1 = <неисправен только первый узел>; Н2 = <неисправен только второй узел>; H3 = <неисправны оба узла>.

3.18. Экзаменационный билет для письменного экзамена состоит из10 вопросов – по 2 вопроса из 20 по каждой из пяти тем, представленных в билете. По каждой теме студент подготовил лишь половину всех вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить хотя бы на один вопрос по каждой из пяти тем в билете?

3.19. При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что: а) двигатель начнет работать при третьем включении зажигания; б) для запуска двигателя придется включать зажигание не более трех раз.

3.20. Вероятность того, что студент сдаст экзамен по дисциплине А, равна 0,8. Условная вероятность того, что студент сдаст экзамен по дисциплине В, равна: 0,5 при условии, что он экзамен по дисциплине А сдаст; 0,6 при условии – что не сдаст. Найти вероятность того, что экзамен хотя бы по одной из двух дисциплин студент: а) сдаст; б) не сдаст.

3.21. Причиной разрыва электрической цепи служит выход из строя элемента K1 или одновременный выход из строя двух элементов–K2 и K3.Элементы могут выйти из строя независимо друг от друга с вероятностями 0,1; 0,2; 0,3. Какова вероятность разрыва электрической цепи?

3.22. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного стока соответственно в 98, 88 и 92% случаев. Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

3.23. Из 40 билетов студент выучил только 30. Каким выгоднее ему зайти на экзамен?

3.24. Известно, что 90% изделий, выпускаемых данным предприятием отвечает стандарту. Проверка качества признает пригодной стандартную деталь с вероятностью 0,96 и нестандартную с вероятностью 0,06. Определить вероятность того, что: а) взятое наудачу изделие пройдет контроль; б) изделие, прошедшее контроль качества, отвечает стандарту

4.1. Ежедневно новая сделка совершается с вероятностью 0,2 (но не более одной в день). Какова вероятность того, что за 5 дней будет совершено 3 сделки?

4.2. В результате каждого визита страхового агента договор заключается с вероятностью 1/4. Какова вероятность того, что из 10 визитов страхового агента 5 закончатся заключением договора?

4.3. Для вычислительной лаборатории приобретено 9 компьютеров, причем вероятность брака для одного компьютера равна 0,1. Какова вероятность того, что придется заменить более двух компьютеров?

4.4. Зачетная работа по предмету состоит из 6 задач, при этом зачет считается сданным, если студент решил хотя бы три из них. Студент Иванов может решить каждую задачу с вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что он сдаст зачет?

4.5. Тест по теории вероятностей состоит из 10 вопросов. На каждый вопрос в тесте предлагается 4 варианта ответа, из которых нужно выбрать один правильный. Какова вероятность того, что, будучи совершенно не готовым к тесту, студент угадает правильные ответы по крайней мере на 6 вопросов?

4.6. Статистика аудиторских проверок компании утверждает, что вероятность обнаружения ошибки в каждом проверяемом документе равна 0,1. Какова вероятность того, что из 10 проверенных документов большинство не будет содержать ошибки?

4.7. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех; б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти (ничьи во внимание не принимаются)?

4.8. Мастер и ученик участвуют в шахматном матче. Мастер выигрывает матч, если он выиграл все партии в матче. Ученик выигрывает матч, если он выиграл хотя бы одну партию в матче. Из скольких партий должен состоять матч, чтобы шансы на победу у мастера и ученика были равны, если вероятность победы мастера в одной партии равна 0,9, а ученика — 0,1?

4.9. В коробке 4 детали. Вероятность, что деталь стандартна, равна 0,9.

Сколько нужно взять коробок, чтобы с вероятностью не менее 0,99 получить хотя бы одну коробку, не содержащую брак?

4.10. Система состоит из шести независимо работающих элементов. Вероятность отказа элемента равна 0,3. Найти: а) наивероятнейшее число отказавших элементов; б) вероятность наивероятнейшего числа отказавших элементов системы; в) вероятность отказа системы, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы пять элементов.

4.11. Каждый из 100 компьютеров в интернет-кафе занят клиентом в среднем в течение 80 % рабочего времени. Какова вероятность того, что в момент проверки клиентами будет занято: а) от 70 до 90 компьютеров; б) не менее 80 компьютеров?

4.12. Известно, что вероятность «зависания» компьютера в интернет-кафе равна 0,6 %. Какова вероятность того, что при случайном отборе 200 компьютеров «зависнут»: а) ровно 6 компьютеров; б) не более 5 компьютеров?

4.13. При наборе текста наборщик делает ошибку в слове с вероятностью 0,001. Какова вероятность того, что в набранной книге, насчитывающей 5000 слов, будет не более пяти ошибок?

4.14. Страховая фирма заключила 10 000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому в течение года составляет 2 %. Найти вероятность того, что таких случаев будет не более 250.

4.15. Сборник задач содержит 400 задач с ответами. В каждом ответе может быть ошибка с вероятностью 0,01. Какова вероятность того, что для 99 % всех задач сборника ответы даны без ошибок?

4.16. Известно, что вероятность выпуска дефектной детали равна 0,02. Детали укладываются в коробки по 100 штук. Чему равна вероятность того, что: а) в коробке нет дефектных деталей; б) число дефектных деталей не более двух?

4.17. В партии 100 изделий, из которых 4 бракованных. Партия разделена на две равные части, которые отправлены двум потребителям. Какова вероятность того, что все бракованные изделия достанутся: а) одному потребителю; б) обоим потребителям поровну?

4.18. Производители калькуляторов знают из опыта, что 1 % проданных калькуляторов имеют дефекты. Аудиторская фирма купила 500 калькуляторов. Какова вероятность того того, что придется заменить 4 калькулятора?

4.19. На научную конференцию приглашены 100 человек, причем каждый из них прибывает с вероятностью 0,7. В гостинице для гостей заказано 65 мест. Какова вероятность, что все приезжающие будут поселены в гостинице?

4.20. Доля населения региона, занятого в промышленности, равна 0,4. В каких пределах с вероятностью 0,95 находится число занятых в промышленности среди 10 000 случайно отобранных людей?

4.21. Вероятность того, что случайно взятая деталь окажется второсортной, равна 3/8. Сколько нужно взять деталей, чтобы с вероятностью, равной 0,995, можно было ожидать, что доля деталей второго сорта отклонится от вероятности менее чем на 0,001?

4.22. Пять клиентов случайным образом обратились в 5 фирм. Найти вероятность того, что в одну фирму никто не обратится.

4.23. Два шахматиста - А и Б - встречались за доской 50 раз, причем 15 раз выиграл А, 10 раз выиграл Б, а 25 партий закончились вничью. Найти вероятность того, что в матче из 10 партий между этими шахматистами 3 партии выиграет А, 2 партии выиграет Б, а 5 партий закончатся вничью.

4.24. Лифт начинает движение с семью пассажирами и останавливается на десяти этажах. Найти вероятность того, что три пассажира вышли на одном этаже, еще два пассажира вышли на другом этаже, а последние два - еще на одном этаже.

4.25. В лотерее каждый сотый билет выигрышный. Сколько нужно купить билетов, чтобы с вероятностью 0,95 быть уверенным в том, что хотя бы один билет окажется выигрышным?

4.26. Вероятность того, что в течение часа на станцию скорой помощи не поступит ни одного вызова, равна 0,00248. Считая, что число X вызовов, поступивших в течение часа на станцию, имеет распределение Пуассона, найти математическое ожидание и дисперсию X.

4.27. Если имеется партия продукции, в которой некачественная продукция встречается q=(1-p), а продукция без дефектов – с вероятностью р.

Качество продукции можно описать случайной величиной, имеющей распределение Бернулли Bi (1;p). Найти закон распределения.

5.1. Монета подброшена 3 раза. Найти распределение вероятностей для числа появлений герба.

5.2. Три стрелка с вероятностями попадания в цель при отдельном выстреле 0,7, 0,8 и 0,9 соответственно делают по одному выстрелу. Найти распределение вероятностей для общего числа попаданий.

5.3. Вероятность того, что лотерейный билет окажется выигрышным, равна 0,1. Покупатель купил 5 билетов. Найти распределение вероятностей для числа выигрышей у владельца этих пяти билетов.

5.4. Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,7 при одном выстреле. Он стреляет до первого попадания, но делает не более трех выстрелов. Найти распределение вероятностей для числа выстрелов.

5.5. Два станка выпускают деталь с вероятностями брака 0,01 и 0,05 соответственно. В выборке одна деталь выпущена первым станком и две — вторым станком. Найти закон распределения для числа бракованных деталей в выборке.

5.6. Прибор комплектуется из двух деталей, вероятность брака для первой — 0,1, для второй — 0,05. Выбрано 4 прибора. Прибор считается бракованным, если в нем есть хотя бы одна бракованная деталь. Построить закон распределения для числа бракованных приборов среди выбранных четырех приборов.

5.7. К контролеру с конвейера поступили 4 детали. Вероятность брака для каждой детали равна 0,1. Детали проверяют одну за другой, пока не наберут две доброкачественные. Найти распределение вероятностей для числа проверенных деталей.

5.8. Два стрелка поражают мишень с вероятностями 0,8 и 0,9 соответственно (при одном выстреле). Найти распределение вероятностей для общего числа попаданий в мишень, если первый стрелок выстрелил один раз, а второй — дважды.

5.9. Каждая из пяти лампочек имеет дефект с вероятностью 0,1. Дефектная лампочка при включении сразу перегорает, и ее заменяют новой. Построить закон распределения для числа опробованных ламп.

5.10. Среди пяти ключей два подходят к двери. Ключи пробуют один за другим, пока не откроют дверь. Найти распределение вероятностей для числа

5.11. Монету подбрасывают до тех пор, пока герб не выпадет второй раз, при этом делают не более четырех проб. Найти распределение вероятностей числа подбрасываний.

5.12. Среди 10 деталей три — нужного размера. Детали извлекают поочередно, пока не подберут две детали нужного размера, при этом делают не более четырех проб. Найти распределение числа извлеченных деталей.

5.13. В процессе производства изделие высшего качества удается получить только с вероятностью 0,2. С конвейера наугад берут детали до тех пор, пока не будет отобрано изделие высшего качества. Найти математическое ожидание числа проверенных изделий.

Пусть событие А может быть реализовано только при условии появления одного из событий H_i, i = 1. n. Предположим, что события H_i несовместны, образуют полную группу (т.е. в результате испытания непременно произойдет одно из них) и вероятности их до опыта известны.. Такие события H_i называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить с помощью формулы полной вероятности:

Задача 5. Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй — 3 студента, а третий — 21 студентов (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго — только 10%, зато у третьего — 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен.

Решение. Обозначим через – гипотезы, состоящие в том, что слабо подготовившийся студент отвечал первому, второму и третьему экзаменатору соответственно. По условию задачи

Пусть событие A=<слабо подготовившийся студент сдал экзамен>. Тогда снова в силу условия задачи

По формуле полной вероятности получаем:

Для решения задач такое типа удобно использовать так называемое "дерево" вероятностей. Из формулы полной вероятности следует, что для вычисления вероятности события А необходимо осуществить перебор всех путей, ведущих к результирующему событию А; вычислить и расставить на соответствующих путях вероятности Р(Н_i) того, что движение будет происходить по данному пути, и вероятности Р(А/ Н_i) того, что на данном пути будет достигнуто конечное событие А. Затем вероятности, стоящие на одном пути, перемножаются, а результаты, полученные для различных путей, складываются.

Каждое из условий может в свою очередь делиться на несколько дополнительных условий или гипотез, т.е. на каждом этапе оно допускает неограниченное число ветвлений схемы, поэтому в решении задач удобнее пользоваться не самой формулой полной вероятности, а графической схемой полной вероятности, которую называют "деревом" вероятностей.

Формулы Байеса.

Отсюда следует, что вероятнее всего слабо подготовившийся студент сдавал экзамен третьему экзаменатору.

Задачи для самостоятельного решения

Читайте также: